一道高三检测题的多解、推广及源头

甘肃 李守明

(Ⅰ)求椭圆的方程；

本题是兰州市2017年3月高考诊断考试理科第20题，笔者通过给出几种不同的解法，探讨所给答案的合理性，顺藤摸瓜给出这种题的一般结论及源头.

1 解法及评注

解法1：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

所以x2+2y2-4(xx2+2yy2)+12=0，

即x2+2y2-4[(x1+2x2)x2+2(y1+2y2)y2]+12=0，

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，

【评析】求解动点P与两个相关点M和点N的问题，需要寻求点M和点N两点之间坐标的关系.

所以x2+2y2=20，后续解法同解法1.

解法3：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，

即sinαsinβ=-cosαcosβ.

所以x2+2y2=20，后续解法同解法1.

【评析】解法4借助椭圆的参数方程，利用同角三角函数之间的平方关系，从三角函数的角度找到了解法3背后解题方法的根据.

2 推广及证明

在本文题目下的解法3中，形式上把点P的坐标代入椭圆方程，得到与x1x2+2y1y2有关的表达式，故只需使x1x2+2y1y2为定值，或者更特殊一点，使x1x2+2y1y2=0，则可以得到点P的轨迹方程，这是本文题目的一个重要特征，受这种特征和解法的启示，从而有了下面的推广：

证明：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

证明：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

3 追本溯源

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；