三角恒等变换面面观

陕西 韩红军 张红祥

三角恒等变换在近五年均有考查，重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在:(1)三角函数的化简；(2)三角函数的求值；(3)通过恒等变换研究函数的性质等，既有选择题又有填空题，分值5分，难度中等，掌握三角函数的和差公式，二倍角公式是解决问题的关键.

一、三角函数式的化简

三角函数式常见的化简方法：(1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化；(2)“1”的代换，三角公式的正用、逆用.

【评注】1.化简原则：(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化,再使用公式；(2)二看“函数名”,看函数名之间的差异，从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”；(3)三看式子“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.

2.化简要求：(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；(2)式子中的分母尽量不含三角函数；(3)尽量使被开方数不含三角函数等.

二、三角函数的求值问题

1.给角求值

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(如正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.

A.tan9° B.-tan9° C.tan15° D.-tan15°

=-tan9°,故选B.

【评注】发现关系式15°+9°=90°-66°是解题的突破口.

2.给值求值

给值求值问题是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值.

(Ⅰ)求cos2α的值；

(Ⅱ)求tan(α-β)的值.

(Ⅰ)求sin(α+π)的值；

3.给值求角

给值求角问题实质上可转化为“给值求值”问题，先求所求角的某一三角函数值，再利用该三角函数值结合所求角的范围及三角函数的单调性求得角.

三、求三角函数的最值(值域)

解：由原函数得sinx-ycosx=1-2y，

例8.求函数y=(4-3sinx)(4-3cosx)的值域.

【评注】求三角函数的最值(值域)常见的类型与方法：

四、三角恒等变换的交汇应用

1.三角恒等变换与三角函数性质的交汇

利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等一直是高考的热点.

例9.(2018·上海卷·18)设常数a∈R，函数f(x)=asin2x+2cos2x.

(Ⅰ)若f(x)为偶函数，求a的值；

解：(Ⅰ)∵f(x)为偶函数，

∴f(x)=f(-x)，即asin2x+2cos2x=asin(-2x)+2cos2(-x)，得2asin2x=0，从而a=0.

【评注】常见的考查方式为先将三角函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，有时也与函数、方程等交汇起来，出其不意，又不落俗套.

2.三角恒等变换与解三角形的交汇

三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相交汇，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考考查的热点内容.

例10.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinC(a+b-c-acosB)=sinB(acosC-b+c)，b=3，求a2+c2的取值范围.

【评注】根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解.

3.三角恒等变换与平面向量的交汇

三角恒等变换与向量的交汇问题是高考中经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的交汇运用.

【评注】此类问题常用基本数学知识如下：令a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2，a∥b⟺x1y2-x2y1=0，a⊥b⟺x1x2+y1y2=0.

4.三角恒等变换与导数的交汇

三角恒等变换与导数的交汇是高考命题的一个方向，近几年屡次出现在高考及其模拟题中.

例12.已知f(x)=ax+sinx(a∈R).

x00,2π3 2π32π3,π πf'(x)+0-f(x)0增π3+32减π2

(Ⅱ)∵f(x)=ax+sinx，f′(x)=a+cosx，

∴g(x)=ax+sinx+cosx+a.