略谈多体平抛运动问题的求解

河北 陈宝友

所谓多体平抛运动问题，是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。常见的多体平抛运动一般有如下几种情况，我们分别进行讨论：

一、物体同时从同一点 (或同一高度)抛出

若两物体同时从同一点 (或同一高度)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

【例1】(2017·全国卷Ⅰ第15题)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是

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A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

【答案】C

【解析】本题考查平抛运动水平方向的运动规律。理论知识简单，重点要理解题意，难在由题意分析出水平方向运动的特点。由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速度大的球用时少，故C正确，ABD错误。

【例2】(2017·江苏卷第2题)如图1所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间

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图1

【答案】C

【解析】本题的关键信息是两球运动时间相同，水平位移之和不变。设第一次抛出时A球的速度为v1，B球的速度为v2，则A、B间的水平距离x=(v1+v2)t，第二次两球的速度为第一次的2倍，但两球间的水平距离不变，则x=2(v1+v2)T，联立得T=t2，所以C正确，ABD错误。

【例3】如图2所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为

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图2

【答案】C

二、物体从不同高度抛出

若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

【例4】(2012·全国卷第15题)如图3，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则

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图3

A.a的飞行时间比b的长

B.b和c的飞行时间相同

C.a的水平速度比b的小

D.b的初速度比c的大

【答案】BD

【例5】如图4所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度水平抛出，则以下判断正确的是

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图4

A.a、b两小球同时落地

B.两小球落地速度的方向相同

C.a、b两小球水平位移之比为1∶2

D.a、b两小球水平位移之比为1∶4

【答案】C

三、物体从同一点先后抛出

若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

【例6】如图5，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，圆心为O，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向抛出一小球，小球运动t1时间后击中坑壁上的C点;若在A点以较大的初速度v2沿AB方向抛出另一小球，小球运动t2时间后击中坑壁上的D点。已知OC、OD与AB的夹角均为60°，不计空气阻力，则t1∶t2= ，v1∶v2= 。

图5

【答案】1∶1 1∶3

【例7】如图6所示，一架在2 000 m高空以200 m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B，已知山高720 m，山脚与山顶的水平距离为1 000 m，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则投弹的时间间隔应为

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图6

A.4 s B.5 s C.9 s D.16 s

【答案】C

四、物体从不同高度先后抛出

若两物体从不同高度先后抛出，可以比较两物体竖直高度及两物体的水平位移的大小关系，然后进行分析判断。

【例8】甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图7所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是

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图7

A.同时抛出,且v1

B.甲比乙后抛出,且v1>v2

C.甲比乙早抛出,且v1>v2

D.甲比乙早抛出,且v1

【答案】D

【解析】两球竖直方向均做自由落体运动，甲球由于位置比较高，所以必须甲比乙早抛出才可能相遇。因为水平位移相同，乙球的初速度必须大。显然，本题正确答案为D。

【例9】如图8所示，A、B两点都在y轴上，它们的纵坐标值分别为2.5h和2h。将两个小球分别从A、B两点沿水平方向抛出，它们在纵坐标值为h的P点相遇。已知重力加速度为g，不计空气阻力，关于两小球抛出的时间间隔和抛出的初速度之比，下列说法正确的是

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图8

【答案】AC

五、类平抛运动

将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。

【例10】(2014·山东卷第18题)如图9，场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h。质量均为m、带电荷量分别为+q和-q的两粒子，由a、c两点先后沿ab和cd方向以速率v0进入矩形区(两粒子不同时出现在电场中)。不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，则v0等于

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图9

【答案】B