数学智理课堂的探寻与建构

【摘 要】数学思想的诞生发展、教学改革的兴利剔弊、儿童培养的未来期许等。使数学课堂教学聚焦智慧与理性，在小学数学教学中建构智理课堂或可成为数学学习的有效路径。智理课堂中的“智”是一种素养，即理解力、行动力和创造力；“理”是对教学对象性——数学的概括。在教学中，教师可承知入理，明理成智，从知—理、志—理、至—理、智—理四重维度建构数学智理课堂，培育儿童的智慧与理性，真正实现通过数学教学立德树人。

【关键词】数学教学；智理课堂；建构路径

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）49-0038-03

【作者简介】张范辉，江苏省启东实验小学（江苏启东，320600）副校长，高级教师，南通市数学学科带头人。

考察数学的诞生与发展，以古希腊数学巨著《几何原本》为代表的西方数学强调实证、逻辑、理性，以我国古代第一部数学专著《九章算术》为代表的东方数学强调实用、均衡、相补。东西方的文化色彩让数学本身的发展具有内在的丰富性，充满智慧。直面当下，新中国成立以来的小学数学教育取得了一些成就，但存在重分轻人、重果轻因、重术轻道、重求真轻求善或求美的问题。数学教学应培养儿童具有观察世界的数学眼光、科学研究的态度方法、严谨有序的思维方式、善于反思的理性精神、百折不挠的意志品质，培育儿童的智慧与理性，真正通过数学教学来立德树人。

数学思想的诞生发展、教学改革的兴利剔弊、儿童培养的未来期许都落脚于数学教育的智慧与理性之中。因此，在小学数学教学中建构智理课堂或可成为数学学习的有效路径。

一、数学智理课堂的内涵

“智”字从干、矢、口，本意为谈兵论战、思考谋略之意，引申为智慧、聪明、善于思考。智是对学习主体——儿童的概括要求，体现在儿童对外观察世界、理解世界，对内反省剖析、调整提升。

“智”是一种素养，通过以下“三力”来体现。理解力：即观察、看懂、生疑，能在观察世界的过程中领会其中的精髓，并在观察的过程中生发疑问、提出问题。行动力：即激趣、剖析、解决，面对问题，能怀有盎然兴趣，研究与剖析问题，不怕困难，解决问题。创造力：即探究、调整、创新，在解决问题的过程中深入探究、多方调整，获得创新解决的方案。

“理”字从玉、里，本意是在作坊治玉，后指物质本身的纹路、层次、事物的内在本质与规律，引申为数学的逻辑、次序和本质。理是对教学对象——数学的概括和提炼。

西方理性主义认为，理性是一种文化精神和普遍化力量，是宇宙存在的根基和内在逻辑。理性的诉求需要教师具有大数学观、高位的数学视野和对真善美的追求，即体会数学的严谨性、精确性，明晓数学表达的是一种真理；具备用数学的思想方法分析和解决实际问题的基本能力，明晓数学运用是一种合理；能够欣赏数学智慧之美，在解决问题、探究发现的过程中享受获得的愉悦，感悟数学的魅力与美好。

对真善美的追求，成为数学教育的高境界与宏观理念，值得教育教学者去追寻。为了追寻这样的真善美，数学教学应该关注哪些“理”？以下“三理”需要在教学中关注：即数理、事理、学理。数理，指数学的原理，是所研究的数量关系与空间形式的思维形式、数学内部的思想；事理，指事物的道理，是外部世界、万事万物的规律。毕达哥拉斯学派曾用“数”来表达世间万物，认为万物皆“数”，即用数理来表达事理；学理，指学习的规律，是儿童认识世界、学习数学的过程与规律。三者互为相融，构成数学学习之理。

二、数学智理课堂的层次

智与理作为数学教学的两端，教师应允执两端，求中致和，承知入理，明理成智。具体表现在以下三个层次。

1.理孕智，智成理。

数学概念首先是人们在生产生活的过程中想象出来的，最简单的自然数“1”，就是人们的想象与创造。“1”本身并不存在，被人们创造以后经历数学的发展而表示成一个单位。从计数到测度，从有限到无限，凝练与闪耀着人类的智慧之光，是人类思想的神来之笔，正如《道德经》言“道生一，一生二，二生三，三生万物”从中可以感悟到“1”的创造是如此玄妙，以“道”字道出其玄虚之妙。

最基本的图形“点”，按《几何原本》中的说法，“点是没有部分的”，除了位置应该什么都没有，按此定义，生活中是找不到点的，画到纸上的点、眼中所见的点，其实是一个很小的面，但意识告诉我们，这是一个点。并以此开启数学的发展——测量细针的一端到另一端，把针的一端看作点；测量A地到B地的距离，把A、B两地看作点；测量地球到月球的距离，把地球与月球看作点……用存在于想象中的“点”進行着纯粹的思考。再由点的平移形成线，用笔画出不是线的线去定义、操作生活中的线，由线的运动形成面，由面的运动形成体，图形的结构大厦在想象与推理中建立起来。

“1”与“点”这两个数理中最基本的概念是想象出来的，建立于这两个概念的数量关系、空间形式也是想象的结果，但伴随想象的推理丰富而具有秩序，井井有条，丝丝入扣，一切都有了合理美妙的安排，最终构成严谨、理性的数学体系。人类的智慧在此过程中孕育，逐渐形成严密的理性思想。

2.理生智，智促理。

明理能生智。对数理的深入理解能让人生发智慧。例如：计算算式64+72×8，采用先乘后加按步计算的方法，能够得到准确的结果，但如能清晰地理解数理，就会生发64+9×8×8=64+9×64=64×10=640的巧妙算法。在这个过程中，需要较好的数感、较高的口算水平以及对算理（乘法分配律）的深度理解和准确把握。图1所示的结构体系图，清晰地说明了思维过程中的明理生智。

再如：在求图2所示的阴影部分的面积时，如果按照常规办法，用梯形的面积去掉空白部分三角形的面积，得出（9+14）×11÷2-9×11÷2，计算过程较繁复。如果细致观察图2，思考运用算理则会发现，图中三角形的高都相等，可以把阴影部分的两个三角形转化为一个大的三角形（如图3），直接得出14×11÷2的结果。从中，我们可以感悟到明理生智的过程，即由各图形面积计算的方法（知）——图形间的联系（理）——作出判断、策略运用（智）。

明理能生智，智慧又进一步促进数理的发展，这集中表现为数学的推理过程是有序而又自由的。诚如德国数学家康托尔所说：“数学的本质就在于它的充分自由。”有秩序的自由，就是人类智慧精神的集中体现，推动与促进了数学的发展。

3.理化智，智转理。

启迪思维、培养智慧是学科任务。数学文化用于化人的角度是独特的、理性的，带着生动而深刻的意味。

例如：针对测量土豆等不规则物体的体积这一问题，课堂上常见的方法是在装满水的规则器皿中放入土豆等物体使水溢出，然后用等量替换的方法，将不规则物体的体积转化为求溢出水的体积，即规则器皿的部分体积。这是一种物理方法，其简单易行的过程只能求得不规则物体的体积数值。如果换成求地图的面积，等积排水法就不一定适用了。

数学课堂需要有数学的意蕴。让儿童通过物理方法直接获知土豆的体积，这种教学只关注技巧，数学教师更应该让学生掌握这类问题的一般性数学方法——从土豆上切下一个单位正方体，称出重量，再称一下土豆的重量，用正比例的方法推算出土豆的体积。这样的数学方法，能让学生获得一种单位意识的普适化启示，即先“1”后数或先“1”后算。从单位“1”出发进行的量的测度，可以涵盖包括长度、面积、体积、角度、质量、时间在内的所有测度。

三、建构智理课堂的四重维度

课堂教学追求的目标，是从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。而所有这些都是美的标志，正如庄子云，“判天地之美，析万物之理”。承知入理、明理成智的智理课堂，就是判数事之理，悟学习之美。可以从以下四重维度建构理智课堂：

首先，知—理。数学学习过程需要对知识，即荷兰数学家弗莱登塔尔所说的“形式化的技巧”进行知识解释、分析内容、理解概念。其次，志—理。学习的本质是有目的、有意志的心理活动，数学学习能够培养学生良好的意志品质，不怕困难、勇于探究、合作共进。

再次，至—理。学习到达理想彼岸并不能通过教师的一言堂，而是授人以渔，注重学习方法、关注学习过程，培养“吾爱吾师，吾更爱真理”的科学态度、科学方法、追求真理、崇尚科学的品质。

最后，智—理。数学学习最终要培养儿童用数学眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，数学学习就是对儿童的数学思维、数学素养提升的關切，用拿破仑的话说就是“智才能开启道路”，只有通过知识的道路，才能通往素养的目的地。

这就需要数学教师时常提醒自己：知识可以简单，但思考不能简单；要不时叩问：知识在哪里？数理在哪里？思想在哪里？学理在哪里？以此来推动自己的数学思考向本质处、向核心处漫溯。

智理课堂，就是基于儿童学习心理与认知发展规律之“智”，遵循并挖掘数学学科之“理”，承知入理，明理生智，尊智慧行、志行至理，建构和谐、生动、有意味的数学课堂。智理课堂的宗旨就是追求学习积累和审美感悟，引领儿童主动学习、积极探索知识本源，达到学习过程与学习结果融通共生，塑造重思善析的数学眼光与创新精神，养成百折不挠的坚韧意志，习得自我独立且融会贯通的数学学习能力。