灵活选用圆方程

黄晓勇

《孙子·谋攻篇》中说：“知己知彼，百战不殆，”意思是“如果对敌我双方的情况都能了解透彻，打起仗来就可以立于不败之地”.在求圆的方程的问题中，我们应该如何捕捉题中蕴含的信息，合理选择圆的方程形式呢？

圆的标准方程（x-a）₂+（y-b）₂=r₂（r>0）的优点是几何特征明显，其中圆心坐标（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形（大小）条件，只要圆的标准方程一出现，大家立即就可以画出一个相应的圆来.此外，我们还发现：如果a，b为定值，r为变量，则表示一组半径改变的同心圆;如果r为定值，a，b为变量，则表示一组圆心变动的等圆.

让我们一起来看道题：

原题 已知圆c经过A（4，2），B（-1，3）两点，且圆心在l：x-y+1=0上，求圆C的方程，

本题的条件提到了圆心，我们不妨先试着设圆的标准方程来求解，只需确定圆心位置与半径大小即可，可以先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，

由上例可见，与圆心、半径有关的问题，常选用圆的标准方程，本题还可利用圆的几何性质，抓住圆C经过点A（4，2）和B（-1，3）的特点，得出圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB，问题也可以迎刃而解.

圆的标准方程可谓是攻城拔寨的良将，但是我们也不能忽略了圆的一般方程x₂+y₂+Dx+Ey+F=0（其中D₂+E₂-4F>0）.它本身是一个特殊的二元二次方程，更多地体现了方程形式上的特点，显然，它的代数特征鲜明，根据三个条件可以得到三个一次方程，联立方程组就可以求出三个参数D，E，F，从而得到圆方程，思路简单，计算不会出现太多思维上的障碍，人人都必须掌握.而且这三个参数还可以用来判断一个二元二次方程是不是圆，比如：直观地看一看“是否满足x₂，y₂项的系数相等且不为零，不含有xy项”，如果连这一关也通不过，就肯定不是圆了.

还是上面的问题，我们只是变换一个条件，你会怎么处理？

变式 一圆经过A（4，2），B（1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求此圆的方程，

这道变式题，题设条件变为了“两坐标轴上的四个截距之和为2”，此条件与圆心、半径无直接关系，圆的一般方程完全可以使上劲，如果你还是一味地设圆的标准方程来求解，反而会麻烦些，

反思整个解题过程：利用方程根与系数的关系，巧妙解答了截距之和的困惑.这是很明显的代数方程的方法，用一般式更简捷.

当然，如果你别出心裁，看出了圆心与截距的关系（横截距之和为圆心横坐标的2倍，纵截距之和类似），则不存在上述问题，但会发现最后的联立的方程组

有些复杂，出现了三元二次方程，解此方程组需要一定的技巧性.不敢说千辛万苦，费一番力气肯定少不了的.万一一不小心，算错一个数据，则满盘皆输！可见，有时候解题，一般方法比技巧更有效率.

让我们回到最初的原题，细心的读者琢磨一下，也会有所发现，我们如果设一般方程求解，同样会显得捉襟见肘，由第三个条件“圆心在l：x-y+1=0上”怎么得出方程？还是要回到标准方程的形式才能得出来，这么一来不就也显得累赘了么？

好了，通过原题其及变式问题的研究，我们不妨再来回顾整理一下选择圆方程的依据：如果已知条件易求圆心、半径或需要圆心坐标列方程，常选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心、半径关系不密切（如已知圆过三点）或所给条件与圆方程的系数有关联，常选用圆的一般方程，

圆的一般方程和标准方程相比较，它们各有优劣.在解题时，要想少走弯路，就要灵活选用圆的方程形式，多用数形结合思想，因为设计合理的解题途径比单纯训练提高运算能力更为重要.

最后，要提醒大家的是：解析几何虽然是用代数方法解决几何问题，但几何方法不能舍弃.求圆的方程时，要注意与初中平面几何的知识相联系，如圆的几何性质等（体现了代数方法、几何方法的交织），这样不仅能使思路简捷明了，而且还能减少计算量.此外，还要注意与代数、三角等知识联系，恰当利用，简化问题.

巩固练习

1.已知圆C与直线x-y=0及x-y4-0都相切，圓心C在直线x+y=0上，求圆C的方程.

2.已知一圆过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为 ，求圆的方程.

参考答案

1.（x-1）₂+（y+1）₂=2.

2.x₂+y₂/2x-12=0或x₂+y₂-10x-8y+4=0.