数形结合话直线

谢秀芳 张登林

解析几何的思想精髓表现在它所提供的数形结合思想上，在这一思想的指引下，一个几何对象被数（坐标）所完全刻画，几何概念可以表示为代数的形式，几何目标可以通过代数方法来达到;反过来，它使代数语言得到了几何解释，从而代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发而提出新的结论，下面我们结合我们解析几何的入门知识——直线斜率和直线方程，来体验一下数形结合思想的美妙之处.

1.直线斜率知识的应用

例1 如图1，在矩形ABCD中，AC= ，AB=1，点E为BC的四等分点，点F为CD中点.证明：AE⊥BF.

看完题目是不是有种亲切感，对！这是初中平面几何的题目，想一想你现在还会做吗？利用△ABE，△BCF相似不难证明出∠FBC+∠AEB=90°，现在你能不能从解析几何的角度来证明呢？在解析几何部分要证明两直线垂直用什么判断？斜率！斜率怎么计算？直线上两点的坐标！本题中有坐标吗？没有！必须自己建系.尽可能多用已知图形的垂直关系和对称关系，使我们需要的点的坐标容易写出来，显然以BC所在直线为z轴，BA所在直线为y轴建系比较合适，下面写出需要的四个点A，E，B，F的坐标，再利用斜率公式k=y₁-y₂/x₁-x₂计算两条直线的斜率k_AE，k_BF，算算k_AE·k_BF=-1吗？这个工作就交给你来完成吧，

做完后比较一下两种方法，你有什么体会？解析几何的方法省去不少抽象的思维，变成了非常直接的线性思维，把形的关系转化为了数的运算.

例2 求函数f（x）=2x-3，x∈[1，3]的值域，

求函数值域的关键是研究出它在这个区间内的单调性，目前我们有两种方法研究单调性，一是用单调性定义严格证明，一是通过间接作出函数图象去观察，证明的方法这里我们不再赘述，下面我们复习一下，函数f（x）=2x-3/x+2=2（x+2）-7/x+2=2-7/x+2，x∈[1，3]的图象，它可由函数f（x）=-7/x的图象怎么变化而来？自己动手画一画吧，看出在区间[1，3]的单调性没有？（单调递增）

下面我们看看用直线的相关知识该如何解决.函数的解析式和直线的什么知识在形式上很像呢？联想一下……

斜率公式k=y₁-y₂/x₁-x₂，f（x）=2x-3/x+2，x∈[1，3]兩者都是分式，f（x）能否看成经过两点的直线斜率呢？一个定点Q（-2，3），一个动点P（x，2x），动点在什么范围内运动？动点的纵坐标是横坐标的两倍，动点在直线y=2r上且x∈[1，3]，如图3所示：

这样求原函数的值域就转化成了过点Q作直线能与线段AB相交，求直线斜率的取值范围，你能分析出斜率的范围是在k_AQ，k_BQ之间，还是之外吗？（注意倾斜角的变化范围）剩下的运算工作就交给你啦！ 答案：[-1/3，3/5]

学习解析几何初步后出现的新解法，有没有给你的解题带来很惊喜的感觉呢？当把“数”赋予“形”的意义后，题目顿时变得多么生动和直观啊！

2.直线方程知识的应用

例3 如图4，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=4/3，求新桥BC的长.

分析 在解析几何里要求一个线段的长度，我们可以通过两点间距离公式计算线段两端点之间的距离，那就需要知道B，C两点的坐标，

首先我们需要建立平面直角坐标系，显然以O为坐标原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，这样C点坐标就出来了：C（170，0），B点坐标怎么办呢？当C点和A点确定以后，根据题目条件B点是怎么确定的呢？B点是直线AB和直线CB的交点，交点坐标就是它们两条直线方程构成的方程组的解，至此问题落实到求直线的方程，而这两条直线上各有一个确定的点，只要知道斜率即可！已知tan∠BCO=4/3，它与直线BC的斜率有什么关系呢？直线AB又与直线BC垂直，是不是斜率也就可以算出来了？下面自己动手去实践一下吧，这可是一道高考题哦（BC的长是150m）.

上面我们通过3个题目，初步体验了用解析几何的相关知识来处理问题的思路和方法，你是否有眼前一亮、豁然开朗的感觉呢？对“数形结合”思想的体会是不是更深刻了？