漫谈等比数列前n项和的求法

河北省临城中学 王云龙

“数列”是高中数学中较为重要的一项内容，其中，前n项和的求法又是我们学生在考试时经常遇到的题型。然而，在实际学习过程中，大部分学生只知道识记教材中给出的一些公式，却没有用心了解其具体的推导过程以及如何针对不同的题型进行灵活的应用，这就使得他们在实际做题时不能根据多变的题目选择适合的解答思路和方式。针对此种情况，笔者根据自身的学习经验，总结出了几种常用的推导等比数列求和公式的方法，同时对于考试过程中经常遇到的一些相关变形问题提供了解题思路。

一、等比数列求和的基础——公式法

“公式法”是学生解答等比数列求和问题的主要方法，我们只要根据题干当中给出的条件求解出首项a1以及公比q的值，便能够套用Sn=a1（1-qn）/（1-q）（注意：q≠1时成立）这个“万能”公式进行计算得出正确的答案，但这仅限于一些相对简单的选择或者填空题，在实际考试答题过程中，我们还需要运用一定的技巧和方法来解决一些较难的题目。因此，学生不仅要能够直接使用公式进行计算，还需要深入地了解其具体的推导过程，并能够熟练和灵活地使用这些方法处理问题。

1．用“错位相减法”进行等比数列求和公式的推导

根据等比数列的基本性质，我们首先可以列出前n项和Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，为了能够消减相同的项，通过对①进行观察可以发现每一项间都相差一个q，这同时能够反过来证明数列公比为q的特点，这时，我们可以考虑将等式①乘以q得出：qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②，如此，便能够将两式相减，消除同类项进行化简，最后得出等比数列前n项和的公式。

通过计算我们可以知道，当两个等式进行相减时，对应的项并不相等，而是和相邻的项进行了化简消除，因此，这种处理问题的方式被称为“错位相减法”，其不仅能够用于公式的推导和证明，而且在实际做题过程中也有广泛的应用，这是我们学生在学习数列知识时需要重点掌握的一种求解前n项和的方法。

2．用“Sn-an=Sn-1”进行等比数列求和公式的推导

此方法主要通过对前n项和的①等式进行变形，然后再寻找当中的一些规律，进而推导出通用公式。具体证明过程如下：式①=a1+q（a1+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），然后合并相同的项进行化简，就能够得出等比数列的求和公式。

3．用“等比定理”进行数列求和公式的推导

这一方法是根据相邻项之间的比值总为q的这一特点进行数列求和公式的推导。具体证明过程如下：因为所以利用“等比定理”可以进一步得出化简后便能够得出前n项和的公式。

二、等比数列求和的变形

在实际考试过程中，学生除了可以利用公式直接计算求解数列的和以外，还经常会遇到很多和等比数列相关的变形题，这就需要我们能够运用一些技巧和方法来帮助自身正确答题，上述求和公式的证明方法也需要在做题当中用到。

1．分组求和法

例1 求（a-1）+（a2-2）+…+（an-n）（a≠0）的和。

解析：通过观察我们可以发现，此题是由等比和等差数列的差值共同构成了一个全新的数列，无法直接套用相应的公式进行求解，因此，我们可以采用“分组求和思想”将有相同规律的项放到一起，即：（a+…+an）-（1+…+n），然后再分别利用相应的公式进行计算。但是在解答过程中，我们需要特别注意对a的取值情况进行分类讨论。

通过上述的计算过程我们可以进行如下总结：当数列当中的每一项都能够用{an}和{bn}进行表示且它们之间又是以“和”或者“差”的形式存在时，就可以考虑使用“分组求和”的方法分别求解。

2．错位相减法

例2 求和：Sn=x+2x2+…+nxn（x≠0，x≠1）。

解析：通过观察我们可以将此题中的数列看成{an·bn}的形式，用x乘以Sn，再和原来的等式进行相减就能够得出：（1-x）Sn=x+x2+…+xn-nxn+1，然后套用等比数列前n项和的计算公式，再进行化简就可以得到正确的结果。这类问题的变形还有很多种形式，比如“比乘比”“差除比”等，这些都可以使用“错位相减法”进行解题。

综上所述，虽然教材当中关于等比数列求和的相关内容多是运用直接套公式的方法来解决问题，但是在实际练习或者考试过程中，我们会遇到很多关于此类题目的变形，这就需要学生能够熟练掌握常见的求解前n项和的方法，并且可以进行灵活应用。

[1]胡耀宇．等比数列前n项和Sn的一个性质的两个补充[J]．数学通讯，2011（7）：9-9．

[2]白雪峰．纵横联系互相诠释把握本质——以等比数列前n项和公式的推导为例[J]．中学数学杂志，2015（11）：16-17．

[3]周加中．等比数列前n项和求法的深度分析[J]．数学之友，2016（3）：57-58．