分类讨论思想在初中数学解题中的应用

江苏省海门市常乐初级中学 沙小飞

分类讨论思想在数学学习中有着重要的应用，但不少初中生却无法从解题中感受到分类讨论思想的优势。其实，分类讨论思想能够帮助学生更好地在解题中发现各个条件之间的内在联系，通过分类讨论思想去寻找问题解决的策略。分类讨论思想必须基于一定的数学实践，解题过程并不是理论说教，那么教师如何运用于数学解题，以提升学生的解题技巧呢？

一、把握应用原则，灵性提升解题能力

分类讨论思想的核心内涵之一是分类，教师在培养学生的解题能力时就要引导学生科学、合理地分类，学生必须遵循这一基本原则才能有效应用。在分类讨论思想中，学生要明白两个应用原则：一是同一性与相称性原则，它的要求是学生在分类时要统一标准。例如如果是三角形的分类，既可以按角的大小进行分类，也可以按边的大小进行分类，学生只能以一个标准进行分类，而不能采用不同的分类标准进行归类，否则会出现交叉等错误。二是互斥性与多层次性。互斥性是指在分类过程中，各个子项应该是互相排斥的，不能出现各子项之间的包含关系，否则会出现分类交叉和遗漏现象。如初三2班参加体育兴趣小组，参加跑步和跳远的有7人，参加跑步的有4人，参加跳远的有5人，由此推断出其中有2人参加这两项运动。显然，将7人分类为参加跑步、跳远两项活动存在逻辑性错误。正确的分类应是跑步的有3人，跳远的有2人，两种活动都参加的有2人。可以说，学生必须遵循相关的分类原则，才能让解题思路更加清晰，使分类过程更为科学、合理，最终有效解题。

二、把握应用策略，灵性提升解题能力

1．在函数解题中的应用

函数是初中数学的难点，而位置又非常重要。为此，初中数学教师应加强培养学生的分类讨论思想，并使其能够灵活应用在函数的解题中。从函数知识的特点来说，函数可划分为一次函数、二次函数、反比例函数等，学生应依据实际情况解决问题。例如这样一道题目：某工厂加工一批男鞋和女鞋，其中男鞋和女鞋的总数量为3.7万双。其中，女鞋比男鞋的2倍还多0.2万双。问：男鞋和女鞋各生产了多少万双？在引导学生解决这道题目时，应先使其明确可应用几次函数解决问题，然后再提问学生是否需要结合其他知识，进而再引导学生积极探索问题的解决方法，得出正确的结果。具体方法是：设男鞋x万双，女鞋y万双，再根据题意列出方程：x+y=3.7，y=2x+0.2。接着通过作出两个一次函数的图象并取其图象的交点，最后得出结论。对于该道题目来说，教师可以通过渗透分类讨论思想，使学生能够根据函数的分类方法去寻找问题解决的策略，最终有效解题。

2．在不等式问题中的应用

不等式问题的解决是初中数学的又一个难点，而分类讨论思想的应用也是比较广泛的。教师在引导学生解决不等式问题时，要巧妙渗透分类讨论思想，以提升学生对不等式问题的解决能力。例如这样一道简单的不等式问题：(k-1)x＞k2-1。在这个问题的解决过程中，教师应先引导学生明确讨论对象及其取值范围。在该问题中，可发现讨论对象是k，其取值范围应包括三种：k＞1、k=1、k＜1三种情况。然后教师再引导学生针对每个分类进行详细地讨论，并得出结果。对于这道题目来说，当k＞1时，即k-1＞0，则x＞k+1；当k=1时，即k-1=0，则不等式无解；当k＜1时，即k-1＜0，则x＜k+1。最后，教师应引导学生将所有的结论归纳在一起，得出最终的结果。解决此题，其最终结果是：当k＞1时，x＞k+1；当k=1时，不等式无解；当k＜1时x＜k+1。通过总结解题过程，学生从中能够发现，在应用分类讨论思想时，也应当按照一定的步骤，以保证在更加复杂的问题中有序、合理地分类、验算、归纳、总结，从而得出正确的结果。另外，在数学几何、数学方程、概率题、有参数问题中，分类讨论思想的应用也非常广泛，教师在实际教学中，应依据具体知识板块引导学生采用合理的分类讨论方法，从而提高学生的解题速度。

三、注意应用情况，灵性提升解题能力

分类讨论思想的应用虽然有一定的广泛性，但它的应用必须基于一定的数学内容，这是学生在解题过程中必须认真考虑的问题。教师可以通过展示一些比较常见的数学问题，使学生能够在多样化的问题解决中不断丰富分类讨论思想，以促使学生能够在遇到相似问题时，快速、准确地采用分类讨论方法解决问题。

首先，在有些数学概念中，其定义就是分类的。当学生的知识结构中包含分类讨论思想时，他就会利用此思想去解决问题，这其实也是学生数感的体现，比如绝对值方程。另外，有些数学概念在定义时就已经对自己的范围进行了限制，学生在解题时必须突破思维障碍，灵活应用分类讨论思想去解决问题。比如二次方程，其系数不能为零。其次，在一些数学运算的使用范围限制情况下，若要突破这些限制，则也要采用分类讨论方法解决问题。如零不能作为除数；不等式换算时，其系数正负问题等。再者，在几何问题中，如果图形位置、形状无法确定，学生则应当采用分类讨论方法解决问题。如点与线的位置、直线与圆的位置等。最后，有些数学题目条件比较开放，其最终结果也不是唯一的，那么在解决这种题目时则也要应用分类讨论方法，以避免漏解。

总之，分类讨论思想的应用范围非常广泛，解题能力的培养是多元化的，学生想更好地应用分类讨论思想提升解题能力，必须明确分类原则，并采用合适的解决方法归纳、总结分类问题，从而得出正确答案。同时，教师还应当重视建立一个长效机制，逐步提升分类讨论思想应用能力，并提升学生思维的科学性、条理性，从而促进学生的学习。

[1]徐翠英．浅谈初中数学中的分类讨论思想[J]．时代教育（教育教学），2010（03）．

[2]杨怀宏．分类讨论思想在初中数学中的应用[J]．数理化学习（初中版），2008（07）．

[3]沈顺良，王丹群．渗透分类讨论思想教学案例一则[J]．中学数学月刊，2009（10）．