探求不变量 巧解动态题

张涛

近几年中考试卷和模拟卷中出现了很多动态型问题，它们立意新颖，灵活多变，集几何、代数知识于一体，考查学生思维的灵活性、严密性、创新性，解决这类试题时，需要用运动和发展的眼光去分析问题，把握运动的全过程，尤其需要关注其中的不变量，这里的不变量，是指在运动过程中，保持不变的数量或关系，可以分为数值不变量和图形不变量，利用不变量解决动态问题，往往能收到事半功倍的效果，下面举例说明之.

1 数值不变量

数值不变量是指在运动过程中，线段长度、角的大小、图形的周长、图形的面积保持不变，或者这些量的和差倍分关系保持不变.

例1（2012年扬州中考题）如图1，线段AB长为4，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是

分析 D，E分别在线段AC，BC的垂直平分线上，所以D，E的水平距离是不变量.

点评 相對于建立函数关系式求最小值，利用线段MN这个不变量求解避免复杂的计算，巧妙简洁.

分析 P在运动时，∠PAB=∠PBC，则∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90。，则∠P=90。，所以∠P是不变量，从而得出点P的轨迹是以AB为直径的一段弧，化隐为显.

点评 若动点对定线段所成的张角是不变量时，动点的轨迹是圆弧.

分析线段BB'，CC'，DD'的大小随着P的运动而变化，但三条线段始终满足BB'+CC'=DD'，三条线段的数量关系是第一个不变量，此外，由于点P在BC上运动，BC∥AD，则△ADP的面积也是不变量.

点评 复杂的运动和图形中可能蕴含了多个不变量，解题时应充分挖掘不变量.

2 图形不变量

图形不变量是指在运动过程中，图形的形状、相互关系（全等、相似）、位置关系（平行、垂直、夹角的大小）保持不变.

点评 通过△AMN这个不变量，巧妙地将双动点问题转化成了单个动点的问题，化繁为简.

点评 通过构造基本图形得到不变量，体现了不变量的生成性.

点评 平行或者垂直这类位置关系的不变量是比较直观易找的.

一般来说，求解动态问题时应先找到主动点、从动点，从整体上把握运动的全过程，进而有目标、有意识地寻找图形中是否蕴含不变量，借助于不变量去分析问题，若图形和运动比较复杂，应充分挖掘与所求量相关的不变量，若原有图形中缺少不变量，有时也可以借助基本图形来构造不变量，总之，只要在变化中抓住不变量，化隐为显，化动为静，化繁为简，就可以简洁巧妙地破解很多动态问题.