高考不等式专题学生存在问题及原因分析

周白生

众所周知，不等式是高中数学的重点和难点，一直以来都是高考热点内容，其中含参的不等式问题是近几年考得较多的一种题型.

由于不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，因而在交汇的背景下，不等式可以较为综合地考查学生的数学抽象、逻辑推理及数学运算等数学核心素养，本文根据近年高考不等式专题答题情况对学生存在的主要问题进行剖析.

1不等式概念认识不清

本专题中不等式概念认识不清常常体现在面对具体问题时，学生不能从题目所给信息中选择正确的不等式公式模型，在选择二次不等式模型还是基本不等式模型上存在障碍.

例1 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为l6π，根据祖咂原理，可得圆柱的高h的取值范围是（ ）

A.（0，π]B.（0，4π] C.[π，+∞） D. [4π，+∞）

解析 由祖暅原理知：长方体与圆柱的体积相等，故长方体的体积为l6π，设长方体的底面边长分别为a，b，则a+b=4.16π=abh，故h=16π/ab≥16π/（a+b）2/2.

评析 本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：①一正：关系式中，各项均为正数;②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

2不等关系中数量关系的刻画不到位

應用线性规划处理实际问题需要学生具备良好的数学建模思想、数形结合思想，以及分析问题与解决问题的能力，这部分内容是近些年高考的热点，是学生学习的难点，应用线性规划解题包含一个完整的解题过程：理解题意、数据分析、列不等式、列目标函数、实际的整点问题，学生在解题过程中主要存在如下障碍：（1）理解题意、建立数学模型，理解题意指的是通过阅读题目获取已知信息、明确解题目标，也就是实际问题数学化的过程，即将“自然语言”表达的条件和目标转化为数学“符号语言”;（2）用平面区域表示二元一次不等式（组）.用平面区域表示二元一次不等式（组）对于学生来说比较抽象，学生不能理解为什么可以用平面区域表示约束条件，明明研究的是数量关系，为何一下子又变成几何问题了，原因就在于学生没有很好地理解一一对应思想.（3）图解法求解过程在学习线性规划之前，学生接触的求最值问题都是一元函数在定义域内求最值，用到的方法有利用函数单调性求最值、观察图像特征求最值、利用导数求最值，较少接触二元最值问题，变量的取值范围变成二元一次不等式组成的解集，学生表现出一定的不适应.

例2 （2016年高考全国新课标I卷·理16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元，该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____元.

评析 面对试题中冗长的文字，学生很难在较短的时间内正确理解题目的意思，导致方寸大乱;没有理解题意，不能在规定时间内将题目所给信息正确分类，列出满足题意的不等式组，得到正确的目标函数关系，结果导致失分;此外还有一个原因可能就是大部分学生似乎形成一种定式习惯，认为填空题最后一题就是难题，所以干脆就选择直接放弃.

3化归与转化思想意识薄弱

学生只关注不等式及共性质，不能做到在解题中渗透等价转化思想，从高考试题中可以看出命题专家并没有忽略对不等式自身特征的考查，但是又不是简单地考查不等式性质等内容，需要学生在解题的时候能有所渗透，懂得将各块知识适当结合.

例如参数的范围问题常可以化归为恒成立问题、无解问题、有解问题，但因学生不能很好地运用化归思想方法，以致不会处理此类问题.

例3 （2017年高考全国新课标I卷·理23）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）= -x2+ ax+4，g（x）=|lx+1|+|lx-1|.（I）略;（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[一1，1]，求d的取值范围.

解析当x∈[-1，1]时，g（x）=2，所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等价于当x∈[-1，1]时，f（x）≥2，又f（x）在[-1，1]的最小值必为f（-1）与f（1）之一，所以f（-l）≥2且f（1）≥2，得-1

评析 不等式f（x）≥g（x）的解集包含[一1，1]，学生不能很好地运用化归思想化归为恒成立问题，化归思想方法即等价转化，即两者形式不同但实质相同可互相替换，在遇到复杂的、不易解释的问题时可适当运用化归等价转化，将问题化为在已有知识范围内可解的问题.在实施等价转化时，我们要遵循简单化、统一化、等价化的原则，使转化过程简单有效，经常使用等价转化思想，可培养和训练转化意识，可以提高解题的水平和能力，有利于增强解决数学问题的应变能力和思维能力，从而提高解题的技能、技巧.

4综合应用能力欠缺

不等式强大的融合交汇功能往往使得命题者希望能将其与其他知识交汇在一起进行命题，综合考查学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，这就要求学生知识综合的能力较强，能够在考查以其他知识为载体的试题背景下，灵活应用不等式相关性质进行求解，而我们学生在这方面欠缺的能力是比较多的.

评析 对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的x1，y1，z，通过作差或者作商进行比较大小，对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.

5不等式缩放技巧不够熟练

常用不等式缩放公式掌握不够熟练，不能准确地将式子进行适当的放缩，这也是证明不等式让很多学生比较头疼，摸不到解题方向的症结所在，实际上通过适当的放缩将式子放大或者缩小，便可将问题迎刃而解.

评析 本题是一个n项和式的不等式证明问题，和的通项ak/a（k+1）的基本特点就是一个正分式，而目标中均出现了n/2，因此比较容易想到要把分式与1/2进行比较，而对于一个正分式来说，若分子变大（或者分母变小），则分式的值变大;若分母变大（或者分母变小），则分式的值变小，通过利用这一性质，进行适当放缩，将不可求和数列问题转化为可求和的数列问题，便达到了证题目的.

6分类与整合意识薄弱

本专题中经常出现的问题大致有三种情况，第一是对于绝对值不等式在去绝对值时，没有办法清楚地找到零点所在，即使找到零点，也没有办法在讨论时做到不重不漏，第二是对参数或者含参代数式进行讨论时找不到讨论的分界点.最后就是对于讨论所得结果不知道怎么样整合在一起.

评析零点分段法是解答绝对值不等式常用的方法，也可以将绝对值不等式转化为分段函数，借助图像求解，本问题学生失分的关键大致有三点，第一点：去绝对值时符号出错，零点分段不清，所以从解题之初就开始出错;第二点：求不等式组解集时出错;第三点：在整合答案时出错，不懂得将解集与题设条件取交集，从这些错误中可以看出学生的分类与整合的意识非常薄弱.

参考文献

[1]殷木森.2017年高考“不等式”专题解题分析[J].中国数学教育（高中版），2017 （C2）： 91-96