一道浙江高考理科数学题的高等数学背景探究

谢冠瀚

最近拜读文献[1]，受益匪浅，作者用了8种方法求解一道2015年浙江高考理科数学填空题，整个过程行云流水，一气呵成，读后深受启发，但是，笔者觉得这8种方法都没有指出此题深刻的背景知识，以下笔者给出此题的一个高等数学的背景，仅供同行交流探讨，我们先回顾该考题：

题目已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=1/2，若空间向量b满足b·e1=2，b·e2=5/2，且对任意的x，y∈R，|b-（xe1+ ye2）|>|b-（xoe1+y0e2）|=|（xo，Yo∈R），则xo=____，Yo=____，|b|____.

正如文献[1]指出，这是一道向量和代数的综合题，具有一定的难度，但是我们从题目条件中出现的两个向量差的绝对值|b- （xe1+ ye2）|可以看出：它表示两个向量（一个是定向量b，另一个是动向量xe1+ ye2）的“距离”，而题目中的“1”表示它们的距离为1.利用高等数学的知识，从已知条件联想到这个问题的本质就是希尔伯特空间的逼近定理，事实上，利用这个逼近定理求解此题，显得异常简单，为此，先回忆一下希尔伯特空间的逼近定理，

定理1 设X为希尔伯特空间，且M为X的闭线性子空间，则任给xo∈X，存在唯一的Yo∈M，使得p（xo， M）=|xo-Yo|，且xo -Yo⊥M.其中，p（xo， M）表示点xo到M的距离，|xo- Yo|表示xo和Yo的距离.

注意到R3是一个特殊的希尔伯特空间，而xoy平面是R3的一个闭线性子空间，因此定理1有如下的特殊情形：

定理2 设ao是R3中的一个始点在原点的非零向量，且ao不在xoy平面上，则存在xoy平面上唯一一个向量bo，使得ao的终点到xoy平面的距离等于|ao-bo|，且有（a0 - bo）⊥xoy平面.

下面用希尔伯特空间的逼近定理求解上述高考题.

评注 希尔伯特空間中的逼近定理在高中数学并不陌生，例如我们熟悉的点到直线的距离公式其实也是希尔伯特空间的逼近问题之一，

参考文献

[1]董泉发.一道高考题的多种解法及其背景研究[J].数学教学，2016，1（6）：36-37