探寻数学本质，扬帆数学思想

林文柱

一道经典的数学试题，主要考查的是数学本质，体现的是数学思想，提炼的是数学方法，为此，在分析与讲解时，必须透过表象抓本质，尽力究其因，探其果，变其式，寻其源，让学生真正理解数学本质，领悟思想方法，促进学生在解题中反思，在反思中总结，在总结中提高数学的核心素养.

试题 动点P在函数f（x）=-4/（x+2）的图象上，定点M （-4， -2），则线段PM长度的最小值为一 本质1改变式子结构特征，不改变其赋值的意义.

思想1 拆分重组、配方换元转化为函数最值问题.

评价1 有较大的难度，观察变形与整体代换让问题迎刃而解.

本质2 改变图象特殊位置，不改变其數量的关系.

解析2 同时将函数f（x）图象与定点M向右平移2个单位转化为：动点P'在函数f（x）=-4/x的图象上，定点M（-2，-2），求线段P'M'长度的最小值.

思想2数形结合、分组换元转化为函数简单问题.

评价2 有较高的思维，透过表象与看清本质让问题避繁少算.

本质3 改变图象解析关系，不改变其内在的联系.

解析3 同时将函数f（x）图象与定点M向右平移2个单位后，再绕原点逆时针方向旋转π/4转化为：动点P'在双曲线x2-y2=8图象上，定点M'（0，-2√2），求线段P'M'长度的最小值，此时，直接设点P'（x，y），则P'M'2=x2+（y+2√2）2=x2+y2+4√2y+8，由X2-y2 =8代入消元，转化为关于y的二次函数的最值问题，这是解析此题的最佳思路.

思想3双重数形、直接配方转化为简单几何问题.

评价3有高端的素养，合理转化与思想渗透让问题柳暗花明.

本质4改变函数研究方法，不改变其几何的意义.

解析4函数f（x）在满足条件的点P处的切线必定垂直直线PM，利用导数工具求解点P坐标即得PM最小值.

思想4无限逼近、有限归纳转化为导数最值问题.

评价4有大胆的猜想，动中寻静与数形结合让问题思维闪现.

通过以上分析和求解，我们有理由作如下变式.

变式1改变函数图象和定点的位置即同时向上平移1个单位.

试题1动点P在函数f（x）=（x-2）/（x+2）的图象上，定点M （-4，-1），则线段PM长度的最小值为____.

点评1 根据公式代入求解，利用本质1与4计算，将会出现繁杂的运算与化简，利用分离常数法得f（x）=1-4/（x+2），然后，同时将函数f（x）=1-4/（x+2）与定点M （一4，-1）向下平移1个单位，即化为原题，这样就大大的提高解题的效度，充分体现数形结合的数学思想.

变式2改变函数的解析式和定点的坐标即引入分段函数的解析式.

总之，数学教学尽可能将问题的本质揭示给学生，使学生看清本质，深刻领会，同时，更应把问题所蕴涵的数学思想方法及内在的知识关联进行有效的追溯，从而让学生看清题目的来龙去脉，分辨出题目的“源”与“流”，实现教与学的双赢.