突出代数特色 彰显核心素养

梁振文

近些年初中阶段比较侧重几何方面的学习，但从学生后续高中学习的连续发展要求来看，就急需教师转变观念，加强学生在代数方面能力的培养，数学运算、逻辑推理、数学建模是中学生应具有的数学核心素养的三个重要内容，也是高中阶段相对更为重视的能力要求，本文以厦门2018年九年级数学質检的一道以二次函数为背景的压轴题为例，探讨学生代数方面能力的考查、培养，

例在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y= X2+bX+C（6>0）上，且A（1，-1）.

（1）若b-c=4，求b，c的值;

（2）若抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意的一个k（0

（3）将抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，一1），点A的对应点A1为（1-m，2b—1），当m≥-3/2时，求平移后抛物线的顶点能达到最高点的坐标。

第（1）问由于抛物线经过点A（l，-1），将点A坐标代入抛物线解析式可得b+c=-2，又根据第（1）问中单独添加的条件b-c=4，可组成关于b，c二元一次方程组，即可求出b=1， c=-3.

此设问易入手，但内涵、作用却不简单，既考查函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，又考查解方程组的方法，消元法是解多元方程组的重要指导思想，也是函数问题中含有多个参数时的处理方法，此设问为后续解题做了很好的铺垫。

第（2）问真假命题的判断、证明，突出了对学生代数逻辑推理能力的要求，如果没有对命题做比较深入的分析，难以判断命题的真假，因此对命题的分析、转化是解题的关键，由于抛物线经过点A（l，-1），可得b+c= -2.因此利用代入消元法，函数解析式中的参数统一为6，即y= X2 +bx-b-2.由题意易得B，C两点坐标为B（O，-b-2），c（-b/2，0）.又b>0，所以线段OC=b/2，OB=2+b.坐标系内点的坐标与相关线段之间的转化是较为常见的考查内容，条件“OC=k·OB”可转化为“b/2=k·（2+b）”，这些分析是学生容易解决的部分，也是命题进一步转化的基础。

另外，因为条件“OC=k·OB”可看作K=OC/OB，再者线段OC，OB的比值能用含有b的式子表示，所以从函数的角度来看命题，即“函数k=2/（2+b）=1/（4/b+2）的自变量取值范围b>0与函数值取值范围O

函数k=1/（4/b+2）并不属于初中所学的函数类型，应属于高中的复合函数，学生要计算其自变量取值范围或函数值取值范围是比较困难的，对运算能力要求较高，需要抓住式子的结构，利用换元法转化为已学的、熟悉的函数类型，设n=4/b，当b>0时，显然n>0.再设h=n+2，当n>0时，h>2.原函数k=1/（4/b+2）则化为k=1/h且h>2，易得O0与函数值取值范围O

此设问形式新颖，突出了对学生“数学运算、逻辑推理、数学建模”三种核心素养的考查，要求学生具备较高的数学能力以及熟悉知识的纵向发展、横向联系，对命题真假的判定过程，是一个数学建模、解模的过程，可以建立方程模型，也可以建立函数模型，整个过程以方程、函数、不等式为载体，考查了逻辑推理能力、运算能力，巧妙地渗透了转化思想、方程与函数思想，对方程的解的判断或是函数自变量取值范围与函数值取值范围的匹配问题，无不体现了代数的本质一式的变形与结构分析，学生具备一定的代数推理能力，无疑对高中的学习助力匪浅。

第（3）问要研究平移后抛物线的顶点所能达到的最高点，实质上是要研究平移后的抛物线的顶点运动轨迹，因此第（3）问其实也是一个建模的过程，通过建立的函数模型反应顶点的运动轨迹，根据函数模型的性质求得最高点的坐标，

此设问着重考查函数方面的知识与能力，体现了学生对函数本质的认识，函数本质上是两个变量之间的对应关系，顶点的纵坐标与什么变量相关？关系如何？这是我们解决问题的关键，自变量的选择不是一蹴而就的，而是在不断地分析过程中逐一剔除，当然能作为自变量的变量不一定是唯一的，上述问题亦可选择m，b作为自变量，整个过程实质上也是数学建模解模的过程，主要的方法是消元法，建模过程中，代数推理贯穿始终，平移的变化规律应用、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系、函数的最值，集中展现了学生的数学逻辑思维能力。

类似这种能够突出代数特色的压轴题在全国各地市的中考试题中，还是较为少见的，它往往合方程、不等式、函数为一体，能够体现学生的代数逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，又蕴含了丰富的数学思想方法，对学生的数学能力要求比较高，常用的“消元法”、“换元法”等代数方法始终是式子变形与结构变化的基本方法，能够展现学生对技能叠加、整合的熟练程度，通过此类问题的学习、训练、考查，对培养学生数学核心素养，对学生后续高中的学习，有极其重要的意义.