基于教材分析，发展学生核心素养的课堂设计

徐荣新

1 基本情况

1.1 教材分析

本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4第一章第三节的第一节课，主要内容是周期函数的概念，以及正弦、余弦函数的周期性，在此之前本章已经学习了任意角的三角函数，以及在此基础上的诱导公式;而在本节之后将学习三角函数的图象与性质，周期性则是为作图提供了理论依据，所以本節知识既是前面知识的延续，又是后续知识的基础.

同时周期性的研究也是数形结合思想的完美表现，思想方法的教学就应渗透在平常的教学中，用好关键的章节，因此在学习周期函数的定义后，要用好课本的思考题，去探究等量关系所体现的图象特征.

通过本节课的学习，将进一步培养学生的数形结合能力、逻辑推理能力，数据分析能力以及分析问题和解决问题的能力，发展理性思维.

1.2 教学目标

（1）了解周期函数的相关概念，能从“形”和“数”的角度体会函数的周期性，会利用定义、图象和公式求一些简单三角函数的周期.

（2）通过生活中周几现象的数学化剖析，理解周而复始，提炼给出函数周期性的定义;在运用中加深对定义的理解;并尝试利用定义寻求三角函数的周期性，总结规律.

1.3 教学重难点

重点：周期函数的定义和正弦、余弦和正切函数的周期性;

难点：周期函数的概念.

2 教学过程

环节1 新知建构

教师：（1）今天周二，7天后周几？14天后呢？7天前呢？14天前呢？为什么？

学生：都是星期二！因为星期是以7天为一循环.

（2）这种现象你能用一个成语来刻画吗？

学生（讨论）：“周而复始”比较恰当.

（3）你能结合周几现象解释“周而复始”这个词吗？生活中还有其他的例子吗？

学生：每过七天，周几和今天是一样的，也就是每经过一段重复出现，与原来一样.

举例：“生活中的月份”、“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”等等.

活动意图通过对生活现象的剖析，让学生体会到“周而复始”的本质，即经过一定间隔又回到开始的地方.

教师：你能举出三角函数中“周而复始”现象吗？

学生：三角函数线旋转重合.

学生：还有三角函数值相等：譬如sin（x+2π）=sinx.

教师：很好，两位同学分别从“图形”和“代数”的角度让我们体会到了“周而复始”，其本质是一样的，其中代数式“sin（x+2π）= sinx”反映了任意角x的函数值等于它增加2π之后的函数值，我们把这种性质称为——周期性，

设计意图在对周而复始现象的剖析后，转入三角函数问题中周而复始现象的探究，在学生的最近发展区内进行问题的延伸探讨，并引导学生初步感受周而复始现象的数形两样特征表现，同时结合“sin（x+2π）=sinx”给出周期性的初步说明.

教师：同学们能尝试给出一般周期函数的定义吗？

学生（师生一起完善）：对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得对于定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

教师：这个定义中，哪些词应该引起我们的特别关注？

学生：“非零常数”，否则没有研究价值;“每一个”体现了任意性，不能出意外;“f（x+T）=f（x）”这是周期性“数”的本质.

教师：同学们总结得非常到位，这些关键词的理解与我们先前学习函数的奇偶性有异曲同工之处，对定义的理解也是我们进一步研究的根基.

设计意图 在之前问题解决的基础上，引导学生用自己的语言尝试提炼，进行定义的建构，培养数学抽象能力，并在三个方面进行辨析理解，即表达式、间隔的非零要求、以及自变量的任意性，与奇偶性的对照理解则加深学生对关键点处的认识.

追问1：根据周期函数的定义，正弦函数还有其他周期吗？

学生：还有，从诱导公式sin（x+2kπ）= sinx（k∈Z）中可以看出4π，甚至-4π也是它的周期;或者从三角函数线也可以看出，逆时针或者顺时针旋转两圈也可以重复.

教师：很好，这位同学从“数”与“形”的角度发现正弦函数周期的不唯一性，但由于周期函数的重复性，我们研究一个函数，只要研究一个周期即可，因此我们规定：对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期，譬如f（x）= sinx的最小正周期就是2π——其证明可参考课本的“链接”，以后我们研究函数的周期，如果不特别说明，都指最小正周期.

设计意图：借助三角函数线、诱导公式发现其他周期，进而引出最小正周期概念，说明最小正周期的研究合理性：一个周期的特征足以描述其他范围内函数的特征.

追问2：周期函数图象有什么特征？原因是？

学生：循环，重复出现，因为函数值的相等！

教师：很好，函数值的相等反映在图形上就是重复出现，之前在研究函数的奇偶性时，我们先观察到图形关于y轴对称或者原点对称，从而反映x和-x函数值的相等或者相反，即由形到数，后续我们则利用函数的周期性来研究三角函数的图象，即由数到形.

设计意图充分挖掘代数问题背后的图形特征，进行直观想象，引导学生建构完整的数形结合思想，并与函数的奇偶性研究思路进行对比：后者是先图形，再有数量的刻画，而周期性则是先有数量的刻画再有图形的特征.

环节2 知识应用

问题1：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图1所示.

（1）求该函数的周期;

（2）求t=10s时钟摆的高度.

学生：从图象可以观察出，周期为1.5s;

设函数为h（t），因为周期为1.5s，

所以h（10）= h（6x1.5+1）= h（1）=20.

设计意图在第（1）问通过实际问题让学生感受周期性图象的特点，体会其中的数形结合思想;第（2）问则引导学生在求值中应用周期性，实现转化的功能，体会周期性在求解函数值中的作用.

问题2：我们知道三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么周期性在三角函数中怎么体现呢？

探究：函数f（x）= cos2x的周期是？

学生回答（教师板演）：设f（x）的周期为T，则f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x，亦即cos（u+2T）= cosu对任意u恒成立，则2T=2π，即周期为π.

教师：很好，抓住周期函数的定义是这个问题解决的关键，同时也利用整体思想，结合诱导公式得到了2T= 2π，继而解决问题.

追问：请同桌之间互相出题，给出一个三角函数，并求出其周期.

教师：通过黑板上同学板演的三道题，结合你们自己的问题，能总结出一般的规律吗？

设计意图通过前面问题的研究，来到本节课的主题：三角函数的周期性，由于前面问题的研究，以及学生在此之前已有的知识储备，此处的问题解决将显得自然，让逻辑推理和数学运算能力得到提升，探究和互相出题问题的解决，让学生经历从特殊到一般的思维过程，提升数据分析能力，总结得出正余弦函数周期性的一般性结论.

环节3 回顾总结，提升认识

学生总结、教师点拨，完成本节课的知识和思想方法提炼.

知识层面：了解了什么是周期函数，形和数的特点;掌握周期的求法：定义法，图象法，公式法;

思想方法层面：体会数形结合的数学思想，整体思想，从特殊到一般等等.

教师：研究了周期性，那么三角函数本身的图象有何特征？后面我们将利用周期性来研究.

3 教学思考

3.1 发展核心素养要激活学生思维

课堂上学生活跃而投入的思维是发展核心素养的基石，只有从主观上愿意去探究、接受新知，才有可能在此过程中让核心素养得到训练和提升，而激活思维一方面取决于学生先天对学科的认同和对知识的好奇，另一方面也取决于教师对问题和情境的设计，本节课在教学伊始提出“周几现象”、“用成语刻画”、“生活中其他例子”，一下子把学生的思维提高到一定的兴奋点，进而引入到数学内部本身，同时在定义的生成过程中与函数的奇偶性进行对比研究，也是基于学生已有的认知水平，通过类比研究让学生觉得新知并不陌生，只是同一类知识的不同表现，因此激活思维首要是合理地设计情境和问题，让学生克服新知学习的畏难情绪，具备探究新知的良好心理状态.

3.2 发展核心素养仍需立足“四基”

基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（俗称“四基”）是课堂教学的首要任务，而“四基”教学是发展核心素养的有机载体，把发展核心素养融入在“四基”教学中，因此我们在问题的设计和处理中要一如既往地立足于“四基”的教学，要引导学生掌握基本知识和方法、体会基本数学思想、总结数学活动经验的过程，促使学生核心素养的不断提升和发展，本节课在情境引入中体现出数学抽象，定义之后的追问则引发了直观想象，问题1则是数学的基本运算，同时让学生感悟到数形结合的思想方法，而在问题2的研究中则让逻辑推理能力得到了提升，在几个题目的剖析后通过总结得到周期的公式则是基于数学分析能力，也感受到从特殊到一般的数学处理方法.

3.3 发展核心素养要创设探究活动

波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系”，因此发展核心素养要尽可能地给予学生探究的空间和时间，本节课在周期公式的探究中，通过之前的铺垫，让学生之间互相出题解决，激发了学生的热情，并通过学生的展示去总结归纳，这样的效果肯定比我们教师简单的传授效果要好，印象要深刻，正所谓“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”！在平常的教学过程中要通过局部的探究活动来实现难点和重点的突破，而且是学生的主动突破，这也是教师在备课时要加以考虑的一个环节.

3.4 发展核心素养要基于教材分析

每一节课的学习过程和内容都是我们发展学生核心素養的有机载体，如何最大化地发挥问题、活动的效益是教师备课时必须考虑的，如果问题仅限于问题本身，可能也就失去了研究的价值，或者说限于教师的能力，由于自己对题目理解的局限性而影响了学生对问题的理解，因此教师需仔细研读教材，领会教材编写者设置例题的意图，体会其与已有知识、方法的联系，甚至在数学思想等方面的深度和高度，以自己的高度引领学生的高度，去设计合理的情境，挖掘例题的功能，组织科学的学生活动等等.