从数学核心素养角度审视函数与导数的习题教学

陈木孙 庄炯林

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出了6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，给出了素养的内涵、价值、表现和水平，这就使得数学核心素养的培养成了高中数学教学必须直面的问题，进一步研读《普通高中数学课程标准（2017年版）》关于数学核心素养的相关界定，可以看出，数学核心素养起源于思维品质、立足于基础知识、依附于关键能力，这意味着，数学核心素养的培养应该立足课堂，以知识、能力为抓手，通过数学思维品质的提升、数学基础知识的夯实、数学关键能力的提高，追求数学思维品质、数学基础知识和数学关键能力的综合作用，实现数学核心素养的发展.

基于这样的理解，本文拟以函数与导数的习题教学为载体，阐释笔者对数学核心素养培养的认识与思考.

1 从数学抽象的视角，体现理性思维

数学抽象是指学生在处理抽象的数学概念、知识方法及数学体系方面的能力整体体现，是日常实践中以一般性思考问题的方式将数学本质及数学思想方法相结合解决问题的思维品质，数学抽象通常表现为：通过处理数量与数量关系、图形与图形关系来实现数学概念及概念之间的关系，最后找出事物间的一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语来表达.

在求解过程中，利用函数导数得到函数单调性是处理函数问题的基本方法，通过单调性解不等式是基本的知识技能，能从题中已知条件构造新函数给出不等式的解，即可认为达到数学抽象素养水平.

2 从逻辑推理的视角，体现严谨思维

逻辑推理是指学生运用逻辑推理的基本形式，通过提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力，最终形成理论依据，达到合乎逻辑的思维品质，逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是学生发现问题、提出命题并进而解决问题的能力的综合体现.找正确的证题方法或途径，可以先设想它的结论是正确的，然后追寻它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样思维方法，就叫做分析法，可简单地概括为：“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”，

第（Ⅲ）问的设计要求学生具备较高的逻辑推理素养，通过构造新函数求导得出驻点后，观察驻点左右两边的单调性以及驻点的特点，进一步利用第（Ⅱ）问的结论推理得出要证明的结果，这个过程用上了逻辑推理中的综合法，

在通常情况下，要证明一个命题的正确时，可以先从已知的条件出发，通过一系列已确立的命题（如定义、定理等），逐步向前推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法，可简单地概括为：“由因导果”，即“由原因去推导结果”.

3 从数学建模的视角，体现应用思维

数学建模是是指学生用数学模型解决实际问题，其体现数学建模的完整情况，通过数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型，最终解决实际问题的能力.

函数主要研究两个变量间的变化规律，它在现实生活中有着非常广泛的应用，以函数为模型的应用题是数学建模中最重要的内容之一，而从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函数关系，解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一，问题世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.

在数学建模素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验，学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;提升应用能力，增强创新意识.

4 从直观想象的视角，体现构建思维

直观想象是指学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合思想解决问题的能力，通过几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，抓住事物的本质的思维品质，实现利用图形理解和解决数学问题，具体包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

5 从数学运算的视角，体现演绎思维

数学运算是指学生运算基本功及有效借助运算方法解决实际问题的能力，通过理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等，来实现学生数学思维发展、程序化解决问题及形成严谨的科学精神.

通过本题的分析，可以看到运算并不是无目的的，运算的依据并不是孤立的，它和题目的条件与结论是紧密联系的，运算的过程需要根据求解的目标不断调整，这也体现了运算的演绎特点.

《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲·理科数学》指出：运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算能力包括分析运算条件，探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.

据此可以认为，数学运算是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段，通过培养学生的数学运算素养，可以促进学生数学思维能力的发展，养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在函数与导数教学中，应注意数学运算的演绎特点，结合函数与导数的概念及性質，通过运算合理求解，例如合理估计函数的零点问题，通过合理分析运算算理，精确计算，利用导数工具解决一些不等式问题等等.

6 从数据分析的视角，体现处理思维

数据分析是指学生用数据表达实际问题、运用相关的统计知识进行推断和决策的能力，体现处理思维，通过研究对象获得相关数据、运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，来实现通过数据认识事物的思维品质，具体包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论

问题6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表所示：

（Ⅰ）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;

（Ⅱ）若体重超过相同身高男性体重平均的1.2倍为偏胖，低于0.8倍偏瘦，那么这地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

本题的知识载体为统计图表，运用于教学中可以为主培养数据分析的素养，

通过分析数据，画出散点图，由点的分布观察发现，可以考虑用y=a·b^x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.

本题通过数据收集、数据分析，用函数思想解决实际问题的基本过程，较好地体现了数据分析素养的培养，在数据分析素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.

作为结束，应该强调，数学课堂教学是学生数学核心素养形成的主要途径，教师要从数学基本知识的理解、数学基本技能的掌握、数学关键能力的提高、数学基本思想的内化和数学基本活动经验的积累出发，注重过程性教学目标的实现，进而发展学生的数学核心素养，必须注意到，在这一过程中，习题解决的教学成效有着举足轻重的作用.

基于此，我们认为，基于数学核心素养的培养，探究习题解决的教学理应为新一轮课标课程的教学实施所关注、所重视.