学科核心素养视角下高中数学课堂文化的三重镜像

李龙辉

1问题的提出

作为人类社会实践活动所产生的重要物质财富和精神财富，“数学”无疑属于文化的范畴，[1]虽然关于“数学文化”这一概念尚未形成统一的学科共识，但大多强调数学文化的“共同体”意识，即“数学文化”是人类共同体对客观世界深入探索的智慧结晶，不同社会文化环境下的数学研究者借助共通的数学语言，一方面深化自身对于数学观念的认知水平，另一方面为其他自然学科和人文社科提供研究工具，也为数学学科的理论拓展提供理论基础，从而达成数学研究者、数学知识、数学思想、数学精神与价值观念等文化要素的有机统一，[2]在中小学阶段，“数学文化”的互动主要基于系统完整的数学教育过程，即教师以数学课堂教学这一情境为中心，以显性的数学知识规范为载体，引导学生不断接触、认同、内化数学观念这一隐性知识的过程，

数学课堂文化是数学文化的微观表现形式，数学文化为数学课堂文化提供了共同体支撑、教学框架、理论积淀等文化要素[3]，“数学课堂文化”为数学教师探寻数学文化在中学课堂的有效渗透提供了全新的教学视角，归根结底，数学课堂文化是师生在数学课堂教学过程中共同坚守的课堂精神、教学理念和教学行为的总和，本质上师生对于数学学科教学主体性选择的结果.[4]因此教师在学科核心素养理念指导下，通过数学课堂进行数学文化的有效渗透，为学生在分科课程情境下发展核心素养输送数学学科营养，将是未来高中数学教育的基本取向，

“斐波那契数列”源于13世纪初意大利数学家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）《算盘全书》（Liber Abacci）中关于动物繁殖的经典数学问题，即“如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每一对小兔子在出生后的第三个月又能生出一对小兔子，在不发生任何兔子死亡的情形下，50个月之后会生出多少对小兔子”，人们通过“斐波那契数列”这一看似朴素的数学问题与“杨辉三角”、“卢卡斯数列”、“恒等式”等数学领域内相关问题紧密关联，也引发了“斐波那契螺旋”、“斐波那契堆”、“欧几里得算法”、“波浪理论”等跨学科衍生研究，人教A版教科书通过“阅读与思考”的课外导读方式呈现了“斐波那契数列”的相关知识，为师生们围绕这一富有数学素养意味的问题，探究积极生动的数学课堂文化之路径提供了重要载体，因此本文拟以数学核心素养的视角，从“数学核心素养”与“数学课堂文化”的互动关系入手，以“斐波那契数列”数学课堂文化要素的探究为中心，初步探讨高中数学课堂文化教学镜像的呈现问题.

2数学抽象与直观想象：高中数学课堂文化的“知识理解”镜像

数学现象为高中数学课堂文化的呈现提供了丰富的教学情境，“数学抽象”素养要求学生透过现实世界中数学现象的数量、形状、位置等物理属性，归纳概括数学现象的本质特征，而这种“本质特征”的教学呈现往往依托于师生之间对于数学现象形态与变化的“直观想象”素养，因此“数学抽象”与“直观想象”实为师生以数学的学科眼光，共同展开对于数学现象的观察过程[5]，这种“观察”并不是走马观花式的“浏览”，而是师生们在课堂教学中以问题情境为中心，通过数学现象的数量关系与图形关系深入思索，并在数学现象意义建构的基础上提炼“知识经验”与“语言符号”，使之成为教学共同体数学文化交流范式的过程，因而“数学抽象”与“直观想象”共同构成了高中数学课堂文化的“知识理解”镜像，高中数学课堂文化的“知识理解”是学生认知过程和认知结果的有机统一，高中数学课堂文化的“知识理解”镜像既包括教师引导学生对数学现象本身蕴含知识经验和语言符号的本质辨识，即学生通过“数学抽象”与“直观想象”的有效作用，从数学现象的本身性质和类属等认知范畴，以及新旧数学知识之间的逻辑关联两个维度，在知识认知——知识运用——知识认知的循环认知过程不断达成新认知平衡的过程，也包括学生数学基本技能演进的过程，即“数学抽象”与“直观想象”既是基于数学知识产生的活动经验而回应数学知识演进结果的陈述性知识，也是具有廓清数学知识动态生成路径方法论意义的程序性知识，

“数列”（ sequence of number）源于人类对于生产生活过程中客观事物离散性的数学刻画，因此人类的早期数列研究往往表现为具体事物直观的数量关系、位置关系、形态变化的现实情境抽象，例如毕达哥拉斯的“三角形数”、“正方形数”，在“斐波那契数列”的数学文化探究过程中，教师应通过以上数学史知识的导入有效营造数学文化探究情境，使学生明了“数列”的由来与基本发展情况，特别是“数列”的列表法、图示法、通项公式法等表示法的相关知识，通过数列通项公式、数列求和、数列与函数关系等知识的温故知新，建立数学知识间的逻辑联结，将学生陌生疏离的“斐波那契数列”纳入学生已知知识的研究范式，从而鼓舞学生对问题探究的兴趣，教师引导学生以“斐波那契问题”由文本的自然语言转化为数学语言这一知识理解过程为中心，比较图示法（图1、图2）、列表法（图3）、通项公式法这三种数学方法对刻画兔子繁殖过程进行“数学抽象”与“直观想象”的作用[6]，从而凸显通项公式法在展示“斐波那契数列”数量关系和形态变化上的意義，以数形结合思想打通数学学科内的知识畛域，为学生理解“斐波那契数列”的线性递归特性提供认知支架.

3逻辑推理与数学运算：高中数学课堂文化的“知识迁移”镜像

逻辑推理是按照归纳、类比、演绎等逻辑规则对数学事实和数学命题推导的思维过程，“逻辑推理”素养是数学思维品质深刻性和预见性的重要表现，“数学运算”则是学生在运算法则的指导下运用演绎推理形式，明确运算对象、明了运算方向、遴选运算策略、设置运算程序、获取运算结果的思维过程.[7]“逻辑推理”与“数学运算”统一于师生以数学的学科眼光开展对客观世界的分析过程，即师生在不断变化的问题情境中对数学活动经验与语言符号的加工处理，使之成为教学共同体内数学文化交流行为规则的过程，因而“逻辑推理”与“数学运算”共同构成了高中数学课堂文化的“知识迁移”镜像，高中数学课堂文化的“知识迁移”镜像既包括学生在“知识理解”基础上对数学基本技能在新问题情境下的有效迁移，即基于新问题情境与原有问题情境的特征差异辨识，采取灵活的认知策略激活与调整原有问题解决方案的样态，以适应新情境下的问题解决，也包括学生基于“知识理解”对数学基本技能在新问题情境上的多元迁移，即考查学生能否全方位地调用数学学科内和跨学科的知识资源，将多个原有情境的问题表征进行有效整合与提炼，从而服务于新情境问题的识别、判断、筛选、决策的表现，

“数学猜想”是“逻辑推理”素养与“数学运算”素养的重要交集，教师在“斐波那契数列”的数学文化探究中应提供数形结合、方程思想、几何代数转化等理论视角让学生“大胆猜想，小心求证”，以帮助学生摆脱数学命题具体形态的影响而找准问题解决方向，进行有效知识迁移，教师应注意学生知识介入的有效性问题，从{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这一“斐波那契级数”出发，借助教材提供的“斐波那契数列”的递推关系式指导学生FN =Fn-1+Fn-2（n≥3）运用待定系数法构造等比数列、线性递推数列的特征方程法、矩阵法等方法，尝试归纳推导“斐波那契数列”的通项公式（即比内公式Sn），从而引发学生对于无理数与有理数关系的全新思考[8]，在此基础上逐步展开对于“斐波那契数列”各项之间关系的思考：从相邻两项的关系入手探求其比值，从而发生与“黄金分割率”的知识迁移（见图4）;通过任意四个连续斐波那契数构造毕达哥拉斯三角形数，进而探究这些连续数之间的乘积、平方和、整除性等性质，从图示法入手引导学生关注“杨辉三角”斜线方向的和值构成，从而引发“斐波那契数列”与“杨辉三角”的知识迁移（见图5）.此外，“斐波那契数列”的同余及其周期性问题、“斐波那契数列”在计数组合题探究中的运用都是值得关注的探究问题.[9]

4数据分析与数学建模：高中数学课堂文化的“知识创新”镜像 “数据分析”素养要求学生根据现实情境问题解决的要求，综合运用统计方法对有效信息中蕴含的数据进行收集、整理、提取，并通过数学模型的构建获得数学结论，“数学建模”则重点关注从数学视角描述现实情境纷繁复杂的问题表征，验证与修正数学模型以完善数学模型的问题解决功能.[10]“数据分析”与“数学建模”统一于师生以数学的学科眼光开展对客观世界的表达过程，即师生在不断变化的问题情境中对数学价值观体系的体悟，使之成为教学共同体内数学文化交流的过程，因而“数据分析”与“数学建模”共同构成了高中数学课堂文化的“知识创新”镜像。

高中数学课堂文化的“知识创新”镜像既包括学生在“知识迁移”基础上对数学知识在开放性情境中的变式求解，即通过挖掘隐藏在原有问题情境深处的创新元素，将原有问题情境的解决作为新问题情境探究的逻辑起点，在教师指引下以新方法的“自我发现”为中心，通过变式训练不断拓展原有方法的认知生成空间，从而使“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”捏合为数学认知循环，持续动态重构数学知识体系的过程，也包括学生以知识延伸与方法突破为轴心，通过假设、实证、求解、反思等数学高阶思维过程，初步了解数学学科特定的认识世界和改造世界的世界观和方法论的过程.[11]

大数据时代的数学知识创新，要求师生贯穿“数据分析”与“数学建模”主线，共同运用互联网资源拓展数学教学的疆界，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质是否已经被发现，在网络中查找一下是否还有其它性质，将得到的结论填入表格，将学生分组，利用网络搜索斐波那契数列与生活的联系，将收集的资源加工整理，制作成课件，以小组为单位展示课件，并加以说明，尝试一下，能否借助斐波那契数列的特性设计图案？在网络中查找一下利用斐波那契数列而设计的图案，并分析其中蕴含的数列.

5小结

随着高中“新课标”对数学文化的价值导向日益深入人心，以往数学教学中存在的过分关注数学学科工具属性，忽视数学学科文化价值的倾向将受到抑制，数学学科对于学生适应社会发展和所需“核心素养”的深刻影响将得以彰显，基于师生间数学活动经验、数学语言符号、数学思维方式、数学价值观念教学传承的高中数学课堂文化，在学科核心素养时代背景下展现出“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三重镜像，本文以“斐波那契数列”的数学文化探究，说明了学科核心素养视角下高中数学课堂文化的三重镜像的主要形态：“知识理解”反映了师生共同调动数学活动经验和数学符号语言“观察世界”的歷程，体现了高中数学课堂教学问题情境的“建构”;“知识迁移”则是对师生运用数学思维方式“分析世界”的折射，展现了高中数学课堂教学问题情境的“解构”;“知识创新”是对师生共同感悟数学价值观念以科学地“表达世界”的过程，凸显了高中数学课堂教学问题情境的“重构”，数学核心素养视角下高中数学课堂文化的三重镜像虽然各有侧重，强调了高中数学学科认知的不同理论维度，但都关乎高中数学学习的整体性问题，最终交汇融合于数学学科以“情境一问题一互动”认知模式，使数学学科核心素养以“多元共通”而“支离割裂”的面貌完整地呈现在高中数学课堂，从而持续推动人类认识世界和改造世界的社会实践，为数学文化在高中数学课堂教学中的有效渗透奠定了坚实的基础，

参考文献

[1]夏征农，陈至立.辞海（第六版）[M].上海：上海辞书出版社，2009

[2]郑强，邱忠华，杨鹏.教育形态数学文化的研究对数学教育的启示[J].数学教育学报，2008 （3）：22

[3]聂晓颖，黄秦安.论数学课堂文化的内涵与模式及对培育教学核心素养的价值[J].数学教育学报，2017 （4）：71-74

[4]胡慧兰，王文艺.基于生态学习观的数学课堂文化解构的初探[J].井冈山大学学报（自然科学版），2010 （2）：126-130

[5]彭翕成.例说数学核心素养[J].教育研究与评论中学教育教学，2016 （5）：36-40

[6]梁梦倩，马岷兴，麦秋月，胡晓溪.数学文化课堂教学设计——以“斐波那契数列”为例[J].中学数学教学参考（下旬），2016 （8）：28-30

[7]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017 （1）： 35-37

[8]刘海英，徐章韬.内蕴斐波那契数列文化的问题[J].中学数学（高中版），2011 （11）：64-66

[9]甘大旺.教科书中斐波那契数列的补遗及活用[J].数学通讯，2015（4）：26-29

[10]常磊，鲍建生.情境视角下的数学核心素养[J].数学教育学报，2017 （2）：24--28

[11]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017 （2）：19-23