等比数列解题十招式理论与实践

薛超群

（福建省宁德市高级中学，福建宁德 352101）

引 言

在高中等比数列教学中，教师应从学生实际出发，结合教材归纳总结解题招式，让学生用这些解题招式快速解答等比数列题目。这样既可以减轻教师工作负担，又可以提高课堂教学效率，还可以提高学生分析问题和解决问题的能力。

一、解题十招式

笔者从学生实际出发，结合教材归纳总结出解题十招式，现简介如下：

招式一：“借力打力”，在等比数列中，意为是在基础之上，再借用项之力。

招式二：“奇（偶）次项同号”，在等比数列中，奇（偶）次项同号。

招式三：“下标和”，在等比数列中，若则 ，即数列两项的下标和相等可以推出这两项积相等。

招式四：“等距抓壮丁”，在等比数列中，“等距离”抽取出的项组成等比数列，如是等比数列。

招式五：“切豆腐，糅合”，在等比数列中，前n项 和，可得也是等比数列。

招式六：“降龙十八掌”，错位相减法。

招式七：等比数列四等价之一，数列为等比数列，等价于其中为非零常数。

招式八：等比数列四等价之二，数列为等比数列，等价于，其中n≥2。

招式九：等比数列四等价之三，数列为等比数列，等价于其中为常数，且

招式十：等比数列四等价之四，数列为等比数列，等价于其中为常数，且

学生在解题中如能应用上述招式，可以增强学习信心，提高解题能力，达到事半功倍的成效。

二、解题实例

例 1.已知等比数列求

分析：在等比数列中，要求用招式一“借力打力”，得

例2.已知数列为等比数列，求

分析：在等比数列中，要求由招式四“等距抓壮丁”，即在等比数列中，“等距离”抽取出的项组成等比数列，如是等比数列。用招式八“等比数列四等价之二，数列为等比数列，等价于其中n≥2”，可得用招式二“奇（偶）次项同号”，即在等比数列中，奇（偶）次项同号

例3.已知数列为等比数列求

分析：已知数列为等比数列，求用招式三“下标和”，若则即数列两项的下标和相等可以推出这两项积相等，得

例4.已知数列为等比数列，前项和已知求

分析：已知数列为等比数列，前项和要求用招式五“切豆腐，糅合”，即也为等比数列，可得即为等比数列；用招式八“等比数列四等价之二，数列为等比数列，等价于其中 n≥2”，可得

例 5. 已知等比数列中，求的值。

分析：已知等比数列中要求的值。由于用招式三“下标和”，若即数列两项的下标和相等可以推出这两项积相等，得所以原式

例6.已知等比数列中，是方程的两根，求

分析：已知等比数列中，是方程的两根，可得要求用招式四“等距抓壮丁”，即在等比数列中，“等距离”抽取出的项组成等比数列，如是等比数列，由用招式八“等比数列四等价之二，数列为等比数列，等价于其中可得，得由可得用招式二“奇（偶）次项同号”，即在等比数列中，奇（偶）次项同号，可得

例7.证明：数列为等比数列，等价于其中为常数，且

分析：若数列为等比数列，则，设即得若其中为常数，且则，其中n≥2，得数列为等比数列。

例 8.在数列中，前项和已知。判断数列是什么数列，求

分析：判断数列是什么数列，用招式十“等比数列四等价之四，数列为等比数列，等价于其中为常数，且，即得数列为等比数列。当；当n=1时，an=-4·3n-1=-4； 当 n≥2时，。综上，得

结 语

在等比数列教学中，教师从学生实际出发，结合教材归纳总结解题招式，让学生用这些解题招式快速解答等比数列题目，可以减轻教师工作负担，提高课堂教学效率，提高学生分析问题和解决问题的能力[1]。

[1]全日制普通高中数学新课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2007.