带线性记忆的弱阻尼吊桥方程拉回吸引子的存在性

2018-11-28王芳平马巧珍

吉林大学学报（理学版） 2018年6期

王芳平, 马巧珍

(西北师范大学数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引言

非自治系统在自然科学许多领域应用广泛, 目前已取得许多研究成果. Chepyzhov等[1]提出了一致吸引子的概念. 研究表明, 一致吸引子的存在性依赖于系统解算子的紧性, 但当时间趋于∞时, 一些非自治系统的轨道是无界的, 所以一致吸引子的一些经典理论已不再适用于该系统, 于是又提出了拉回吸引子的概念, 拉回吸引子定义为从-∞远处吸引解的参数族, 即初始时刻是-∞, 而最终时刻是固定的.

设Ω是2中具有适当光滑边界∂Ω的有界开区域, 考虑如下带线性记忆的弱阻尼吊桥方程:

(1)

解的渐近行为, 其中:u(x,t)是未知函数, 表示桥面在竖直方向的振动;α是正常数;ku+表示恢复力,k>0是弹性系数;u+=max{u,0}是u的正部,u0:Ω×(-∞,0]→表示u的过去历史;μ是记忆核;νut表示黏弹性阻尼,ν>0是一个给定的正常数;h(·)∈;L2(Ω))是外力项;τ=[τ,+∞).

首先将方程(1)转化为一个确定的非自治动力系统. 为此, 需引入表示历史位移的变量, 即

η=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥τ.

(2)

于是

(3)

(4)

相应的边界条件为

u=Δu=0, (x,t)∈Γ×+,η=Δη=0,x∈Ω,t≥τ,

(5)

初值条件为

u(x,τ)=u0(x),ut(x,τ)=u1(x),ηt(x,0)=0,ητ(x,s)=η0(x,s),

(6)

其中: 当x∈Ω时，u0(x)=u0(x,τ)，u1(x)=∂tu0(x,t)|t=τ；当(x,τ-s)∈Ω×+时，η0(x,s)=u0(x,τ)-u0(x,τ-s).

根据文献[3,7], 假设非线性项f∈C2(),f(0)=0, 且满足下列条件：

记忆核函数μ(·)满足下列条件:

(H4)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s), ∀s∈+;

(H6)μ′(s)+k1μ(s)≤0, ∀s∈+, 某些k1>0.

目前, 关于带记忆项的动力系统已有很多成果[3,12], 但关于方程(1)拉回吸引子的存在性研究尚未见文献报道, 由于方程(1)中含有线性记忆, 故不能用拉回D-条件(C)考虑该问题. 本文用收缩函数的方法得到与问题(4)-(6)相关过程的拉回D-渐近紧性, 从而证明了方程(1)拉回吸引子的存在性.

1 预备知识

相应的内积和范数分别为

Poincaré不等式:λ1‖v‖2≤‖v‖2, ∀v∈H, 其中λ1是-Δ的第一个特征值.

设(X,d)是完备的度量空间, (Q,ρ)为度量空间, 也称为符号空间. 设θ={θt}t∈是定义在Q上的动力系统, 满足下列性质: 1) ∀q∈Q，θ0(q)=q; 2) ∀q∈Q,t,τ∈,θt+τ(q)=θt(θτ(q)); 3) (t,q)→θt(q)连续. 如果映射φ:+×Q×X→X满足: 1) ∀(q,x)∈Q×X,φ(0,q,x)=x; 2) ∀s,t∈+, (q,x)∈Q×X,φ(t+s,q,x)=φ(s,θt(q),φ(t,q,x)). 则称映射φ:+×Q×X→X是由θ诱导出的共圈.

定理1[13]设(θ,φ)为Q×X上的非自治动力系统, 假设集合族D={Dq}q∈Q为φ的拉回吸收集, 且φ是拉回D-渐近紧的. 则φ拥有拉回吸引子A={Aq}q∈Q, 且

(7)