《神奇的莫比乌斯带》教学设计与反思

张志芳

“莫比乌斯带”属《拓扑学》的内容，是新教材新增加的内容，作为一个数学游戏的介绍来安排。这个内容对于教师来说，是一个不好组织的内容，对于小学生来说也是一个不好理解的内容。但是这个内容又是一个激发学生学习兴趣、拓展数学视野的好题材。为了实现以上目标，我预设通过“小魔术”引入，鼓励学生大胆猜想，在“猜想——验证——探究”中，让学生感受到数学的神奇魅力。为了让学生感受到“它有什么用”，课堂上适当利用课件展示，让学生直观地感受它在生活中的运用，使学生在美的享受中再一次感受知识的神奇。

【教学过程】

一、魔术激趣——引入莫比乌斯带

导入：今天张老师给大家带来的是一节数学活动课，我希望在这节课中大家一定要仔细观察、大胆猜测、小心验证。

师：老师给大家带来了一个魔术，魔术的道具就是老师手里的这张长方形纸条。你们看老师手里的这张纸条有几个面几条边？（4条边2个面，2个面分别是一个正面、一个反面，4条边分别是上、下、左、右边）

师：现在老师要把它变成2条边2个面。

（教师把纸条变成纸圈，2个面分别是里面和外面，2条边分别是上边和下边）

师：谁能把4条边2个面变成1个面1条边？

（教师转过身变魔术。看！像这样的纸圈就只有1个面1条边）

【设计意图：以学生喜爱的魔术情境导入，符合学生的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。学生对变魔术很感兴趣，能够积极主动地参与学习，课堂气氛活跃。】

二、阅读指导——认识莫比乌斯带

教师介绍这个只有1个面1条边的纸圈叫莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯1858年偶然间发现的，所以就以他的名字命名为“莫比乌斯带”，也有人叫它“莫比乌斯圈”，还有人管它叫“怪圈”。这也是我们今天所要研究的内容。

关于莫比乌斯带还有很多有趣的小故事呢！出示两个文本故事：

故事1：据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场抓获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。

师：（引导）从这个故事中，你获得哪些有价值的信息？

师生互动形成思维导图：

师：这是为什么？

（教师演示过程）

故事2：县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的毒计又落空了。

师：（引导）从这个故事中，你获得哪些有价值的信息？

师：你们想试一下吗？

（学生拿出备好的1号纸条尝试操作）

师：刚刚执事官通过两个小动作制作的纸环其实就是莫比乌斯带。这个神奇的纸圈到底是怎么做成的？你们想不想学？那我们先看一段制作视频，看完后你觉得有什么提醒自己或同学注意的。那我们就拿出1号纸条跟着视频边学边做。

（播放制作视频）

【设计意图：以一张纸条变魔术导入课题，又通过阅读故事激发兴趣，使学生欲欲跃试，自己尝试制作困难时，再让学生对着视频边看边学制作莫比乌斯带，既提高了学生的兴趣，也提高了学生的学习效率。】

1．莫比乌斯带的特征。

师：莫比乌斯带有什么特征呢？

（教师引导发现：用水彩笔在这个纸带的边缘选取了一个起点，让这点沿着它的所有边转动一圈，又回到了起点，说明它就是只有一条边。同样像故事中的执事官用一支毛笔在纸带上沿着这个纸带所有面运动一周，会发现所有面都涂黑了，说明它只有一个面）

师：你们也想试试吗？请拿出水彩笔在刚刚制作的莫比乌斯带上画一画，再说一说，归纳莫比乌斯带的特征。

2.利用特征验证判断。

展示一个学生的作品，判断是否为“莫比乌斯带”？

假设只有一条边，沿着边就能一笔画完所有的边。随即让学生直观操作一笔画，回到原点后再让学生检查结果，看看是否所有边都画到了，所有边都画到就证明莫比乌斯带只有一条边。假设只有一个面，沿着面就能一笔涂完所有的面。接着让学生验证，看看是否所有面都涂到了，同理就能得出结论。

三、直观操作——玩转莫比乌斯带

莫比乌斯带到底有多神奇呢？下面我们就用“剪”的办法来研究。

1.对比剪一剪。

老师先拿出这个普通的纸带，问：老师如果沿着纸带的中间剪下去，会变成什么样呢？

（学生猜测后老师动手剪，学生观察验证。变成窄一些分开的两个纸圈）

猜测：如果现在要沿着这个莫比乌斯带的中线剪下去，你们猜又会变成什么样呢？

（启发学生想象力）

剪一剪：要想知道它到底会变成什么样子，我们应该怎么做？

生：剪剪看。

师：为了不把它剪断，先看老师是怎么剪的？

（教师示范，微课播放）

师：现在，就请同学们拿出2号纸条，并制作一个莫比乌斯带，然后沿中线去剪一剪。

（验证结果：变成了一个更大的圈）

师：那这个大圈是不是一个莫比乌斯带呢？怎样验证？

（用画一画的办法如何验证它是否是一个莫比乌斯带。发现从开始到结束只画了一个面，还有一个面没画上，所以它不是莫比乌斯带）

（小结加深理解莫比乌斯带的特征）

师：请同学们拿出3号纸条，把一张纸条三等分，两面中间部份涂上颜色，再制作成一个莫比乌斯带。

师：如果我们要沿着三等分线剪，剪下涂色的部分，猜一猜：要剪几次？（2次）剪的结果又会是怎样呢？

（1）学生动手操作。有困难的同学，同桌合作帮助。

（2）验证结果：一个大圈套着一个小圈。

问题：这个大圈和小圈还是莫比乌斯带吗？你怎样验证？（小圈是，大圈不是）观察这个小圈，其实就是原来长方形纸条的哪一个部分？（中间涂色部分）

【设计意图：通过让学生在具体的操作中体会莫比乌斯带的神奇，让学生先想一想、猜一猜，剪完以后再想一想：为什么会是这样的？让学生动手做、动脑想，有效地培养了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，同时感受数学的神奇魅力。】

四、生活中应用——感受莫比乌斯带的魅力

师：刚刚我们通过剪体会了莫比乌斯带的神奇，生活中，你见过莫比乌斯带的运用吗？让我们来看一看。（课件展示）

1．三叶扭结：中国科技馆的标志性的物体，是由莫比乌斯带演变而成的。

2．2007年特奥会火炬。

3．过山车：有些过山车的跑道采用的就是莫比乌斯带，看来我们得谢谢莫比乌斯带，让我们开心地转一周还能回到原地，大家下次去游玩时就可以仔细观察一下。

4．莫比乌斯爬梯和楼梯。

5．可回收垃圾筒。

【设计意图：充分发挥多媒体课件的直观作用，选取一些学生感兴趣的图片，创设了逼真的情境，化枯燥为生动，化抽象为具体，呈现了莫比乌斯带的美，深化了学生对数学魅力的领悟，拓宽了视野。】

五、课堂小结

师：今天这节活动课，你们有什么收获？

师：从今天这节活动课中我们发现莫比乌斯带从中间或是从三等分线剪开，得到的结果是不一样的，其实还有很多种剪法，有兴趣的同学可以在课后继续去研究，期待同学们会有更神奇的发现。

【课后反思】

莫比乌斯带这节活动课对学生来说是很新奇的。整节课我设计了三个活动，首先是做莫比乌斯带，然后是沿线剪，最后沿线剪。设计这节活动课的初衷是想开阔学生的视野，拓宽学生的知识面，让学生感受数学变幻莫测的无穷魅力。从整节课来看，较好地完成了教学目标，学生在“动手做”中深切地感受到了莫比乌斯带的无穷魅力，激发了强烈的好奇心和创造欲望。