“系列课”背景下起始教材的比较研究与教学建议——以《近似数与估算》教学为例

何月丰

数学知识是螺旋上升发展的。在上升发展的过程中，知识的外在形态会发生一定的变化，但还是在原来的知识链上。在一条链上的知识，会有几个关键的节点。从教学的角度看，这些节点就形成了一节节的数学课。因为这些课是由同一个起源发展而成，并在一条知识链上，就形成了一个“课系”，不妨称为“系列课”。

如果这样的理解是正确的，那么可以说明一个事实：没有一个数学知识是一节课能教完的，即所有的数学课都是系列课。

不同课系以及一个课系中的不同课，会受到不同程度的关注。例如《长方形的面积》，这节课备受关注，是研究热点，也就在一定程度上体现了我们对这节课是非常重视的，就把它单独拿出来研究了。换一个角度，《长方形的面积》其实是“面积计算”这个系列的一节课而已。

基于以上对“系列课”的认识，对《近似数与估算》的教材比较研究，除了整体上的横向、纵向等维度之外，还可从特有的“系列结构”、“系列起点”、“系列阶段终点”三个方面进行。下面笔者就“系列起点”——《近似数与估算》起始教材的比较研究，与老师们做一个交流。

所谓“起始教材”，即在整个“课系”中知识第一次正式出现时的教材。为了增强对比性，使研究更有宽度和深度，我选择了国内的人教版、浙教版以及美国的加州版三个版本教材进行比较研究。为了增强可比性，使研究更为细化，我拟定了教材立意、素材选择、特色方法三个比较点。

一、对三个版本《近似数与估算》起始教材的独立分析

1.对人教版《近似数与估算》起始教材的独立分析。

人教版（2012版）教材，《近似数与估算》第一次正式作为一个知识点进行教学，是在二年级下册第91页，该内容隶属于《万以内数的认识》单元。

教材立意：该起始教材的例题是教学将9985看成10000，所以教材立意为近似数的教学。同时在教学逐步推进的过程中，明确提出了“近似数”、“准确数”这样的术语，并给出了近似数的优点——更容易记住。

素材选择：在素材方面，教材选用了一个常见的生活情境，电视节目中主持人报了运动员人数为9985人，看电视的爸爸将人数说成“将近10000人”。然后通过“画外音”对话的形式，对两种说法进行对比，给出两种说法的特点。应该说，这样的素材选择，还是很有“生活气息”的。

特色方法：人教版此处教材的编排，“数直线”的使用可理解为是其特色之处。通过数直线，可使二年级的学生直观地看到9985与10000的“接近”，从而能更好地理解将9985看成10000的合理性。

2.对浙教版《近似数与估算》起始教材的独立分析。

浙教版（2012版）教材，《近似数与估算》第一次正式作为一个知识点进行教学，是在二年级下册第96页，是一个独立的单元。

教材立意：该教材的立意，从单元题目就可以看出来是估算。不过，仔细分析教材会发现，这里除了教学估算，还教学近似数，如估算时要把389看成400，其实就是近似数教学，把近似数作为一种估算的需要来处理，这种需要源于例题问题中的“大约”。

素材选择：在素材方面，浙教版选用了一个学生比较熟悉的生活情境——图书馆藏书情况，并以此为背景，转化成一个典型的加法问题，由此通过问题中的“大约”引出“估算”。以生活问题为背景，再转化成数学问题，本身就是浙教版教材的编排特色。

特色方法：浙教版这样的编排，把近似数与估算融合在一起教学，在此，且把这样的编排作为它的特色之处吧。另外值得一提的是，浙教版在第一次教学《估算与近似数时》就引入了“≈”。

3.对美国加州版《近似数与估算》起始教材的独立分析。

加州版教材，《近似数与估算》第一次正式作为一个知识点进行教学，是在一年级（加州教材不分上下册）的第251页（如下图），该内容隶属于第8单元（一年级一共14个单元）《100内数的认识》。

教材立意：该教材中标题“Estimating with Groups of Ten”的意思为“以10个为一组估计”，教材立意清晰可见——估计。从教材中我们也可以看到“以10个为一组”的估计行为——教材用不同颜色的小立方体表示，小朋友正在10个一组圈一圈进行数数。对于估计结果，教材采用选择性的方法，给出了30和50两个选项，让学生操作之后思考，这一堆小立方体可以估计成30个还是50个。所以，从这个过程上去理解，加州版教材表面是在教“估计”，其实是近似数的教学。

素材选择：在素材上，教材没有选用生活问题，没有给出进行估计的需要和背景，而是直接指向于行为——以10个为一组进行估算。

特色方法：加州教材的特色之处，在于给出了具有动作行为的估计方法——以10个为一组。同时，对于估计结果的确定，是选择性的（下面的练习也是这样的形式）。这样的处理，对于刚刚接触估计的一年级学生而言是有好处的。

二、对三个版本《近似数与估算》起始教材的对比分析与思考

在以上独立分析的过程中，其实也默默进行着对三个版本教材的对比。这种对比，既有立足教材立意、素材选择和特色方法这三个方面的，也有在这三个方面之外的。对比发现，区别还是比较显著的。

1.对教材立意、素材选择和特色方法对比分析后的思考。

教材版本 教材立意 素材选择 特色方法 起始年级人教版 近似数 生活情境 数直线直观感受接近 二下浙教版 估算（近似数） 生活情境1.近似数与估算一起教学2.引入“≈”二下加州版 估计（近似数）没有生活情境1.10个一组进行估计2.对估计结果进行选择一年级

（1）通过对“教材立意”的对比分析可以看出，教学一旦牵涉到估算（估计），就会涉及到近似数的教学，而近似数可以独立教学。在这个问题上，我想也是好理解的，因为要估算（估计），就说明不需要一个准确的结果，这就自然地产生了近似数。例如浙教版教材要求两类书的总量，只要“大约”即可，加州版教材估计小立方体的数量，是要看实际数量更接近30还是50。这样，在计算两类书的总量时，用到了近似数，选择30或50也是近似数。

（2）通过对“素材选择”的对比分析可以看出，就比较的三个版本教材而言，国内和国外是有区别的。国内的教材都选用了生活情境，而国外是没有的。当然，国外这里只选用了一个版本的教材，不能以一概全。但就“生活情境”而言，我个人认为还是需要的。1980年美国数学教师联合会在《行动的纲领》这份文件中，第一次提出“把估计能力作为一种重要的数学素养”，并在后续的研究中形成了一定的共识，“必须让学生理解估计的意义，什么情况下的估计是合适的……”显然，生活情境的介入，对学生理解估计的意义，认识到什么情况下使用估计是非常有帮助的，由此能让学生深刻认识到“课本中的数学与现实生活中数学的联系”。

（3）通过对“特色方法”的对比分析可以看出，在起始教学近似数或估算时，“取整”是一个共同选择。人教版把9985看成10000，浙教版把389和308看成400和300，加州版将一堆小立方体估计成30或50。三个版本教材不约而同地用整十、整百、整千、整万作为学生首次接触近似数的“近似对象”，我想这是易于一二年级的学生理解和接受的。尤其是人教版和浙教版，都采用了更能体现“接近”的数据，就更加有利于学生的理解和接受了。

2.对三个版本近似数形成过程的分析与思考。

在对以上三个方面进行分析与思考的过程中，我注意到三个版本教材在作为结果的“近似数”的形成过程上有所区别，具体如下表。

教材版本 教材立意 产生过程 近似数形式人教版 近似数 数→数将准确数估成近似数 作为结果浙教版 估算（近似数）数→数→算先将准确数估成近似数，再计算作为手段加州版 估计（近似数）物→数估计未知小立方体的近似数量作为结果

在“产生过程”上，三个版本的教材各不相同。

人教版教材是先给出一个准确数（运动员人数），再根据准确数得到近似数，采用了“数→数”的形式，近似数是作为结果来呈现的。

浙教版教材，先根据准确数（数的数量）得到近似数，再运用近似数进行计算，采用了“数→数→算”的形式，近似数作为一种计算手段参与。

加州版的教材，先是呈现一堆未知数量的小立方体，“数”是未知的，然后以10个为一组进行估计，近似数是作为结果来呈现的。这里需要思考的是，具体教材如何展开，即以10个为一组进行估计时，是否把具体数量数出来（如教材中是39），如果是数出来的，那么加州版教材采用了“物→数→数”的形式；如果没有数出来，那是采用了“物→数”的形式，显然这样的形式对学生的思维要求是比较高的。从标题“以10个为一组估计”理解，要充分发挥“10”的作用，因此我暂且把教材解读为“物→数”的形式吧。

通过上述分析和对比不难发现，相对而言，人教版的编排较为“单纯”，难度较低。

3.基于以上分析后的感想。

通过上述对于三个版本《近似数与估算》起始教材的比较，我最大的感觉是“这水有点混”。三个版本的起始教材，各有自己的立足点，在立意上区别明显，进而引发的就是课系的统一性不强。例如浙教版，起始教材就涉及到估算、近似数和“≈”，而人教版、加州版没有涉及那么多，那么这两个版本的教材必然要在后续的教学中去涉及这些知识，这就会造成课系发展不够统一，知识螺旋上升的趋势会不明显。这一点，与其他一些课的区别还是有较为明显的地方。

三、基于《近似数与估算》起始教材分析的教学建议

作为系列课的起始教材，关键在于“始”，即要做好启蒙教育工作，这样，才能更好地让知识生长。就《近似数与估算》而言，如何做好启蒙教育工作呢？基于对以上三个版本教材的分析及思考，我认为以下几点值得关注：

1.用“近似数”作为启蒙，使学生易于理解和掌握。

估算离不开近似数，但近似数可以独立教学。因此，在“近似数与估算”这个课系中，将近似数作为启蒙教学较为合适（如人教版）。一方面，这样的教与学更为“单纯”，不必考虑“算”，降低了难度，易于学生理解和掌握；另一方面，这也符合学生数学学习的一般规律，先认“数”（近似数），再学“算”（估算）。

2.以生活情境为载体，使学生感受到近似数的价值。

数学向来被看作是“一门与人类思想中的精确部分相一致的学科”（爱因斯坦）。学生在一二年级的学习中，接触的“数”和“算”，基本是“精确”的。现在要从“精确”转向“近似”，需要有一定的“价值取向”来支撑。这种“价值取向”，体现在教学中就是要让学生感受到产生并运用近似数的好处，显然，生活情境是一个很好的载体。通过生活情境，使学生感受到生活中运用近似数的情况，进而感受到近似数的价值。

3.以“取整”为近似方法，并借助数直线感受接近。

求得一个数的近似数，一般采用四舍五入或取整，其本质都是“接近”。相对而言，四舍五入的思维层次更高一些。因此，作为近似数的启蒙教学，以“取整”为近似方法，是一个好的选择。同时，为了使学生能更好地理解“接近”这个本质，建议借助数直线使学生能直观感知。在产生过程上，建议采用“数（准确数）→数（近似数）”的形式，在数据的选择上，要采用更能体现“接近”的数据，如人教版的9985→10000。