矩形内接正三角形问题的探究

☉江苏省南京市金陵中学仙林分校中学部 毛亚玲

江苏省南京市2017年中考第27题以学生熟悉的折纸为背景，结合“轴对称、旋转与位似”及勾股定理、特殊三角形，综合运用操作探究、猜想证明、语言呈现、线段求值解决矩形内部最大正三角形问题，尤其第（3）问关于矩形内部最大正三角形的操作、计算、作图难度系数只有2，而此类问题与教学紧密相连，学生非常感兴趣，如何突破难点显得尤为重要.笔者对此类问题进行了梳理、总结.

一、试题呈现

题目：（2017年江苏·南京卷第27题第（3）问）（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.

二、问题解决

探究1：任意矩形都有一个最大的内接正三角形.

对于问题（3），我们不妨假设矩形的一边长为a，另一边长为b，由此我们可以探讨对于任意一个矩形而言，其内部是否存在面积最大的正三角形，以及最大面积是多少的问题.

分析：在图1所示的矩形ABCD中，设AB=a，BC=b.不妨设b＞a，考虑到面积最大，应尽量使正三角形的顶点在矩形的边上，分如下四种情况讨论.

情形1：如图1所示，正三角形的三个顶点中的一个顶点与矩形顶点重合，另外两个分别在矩形较长的一组对边上.

情形2：如图2、图3所示，正三角形的三个顶点中的一个顶点在较短边上，另外两个分别在矩形较长的一组对边上.

在图2中，过F2作BC的垂线交AD于点H，设∠E2F2H=α，由题意知α＜30°，则cosα＞cos30°.

在Rt△E2F2H中，，此种情况舍去.

同理，图3这种情况也可以得出上述结论.

情形3：如图4所示，正三角形的三个顶点中的一个顶点与矩形顶点重合，另外一个在矩形较长的边上，第三个在矩形内部.

在图4中，设∠ABE4=β.由题意知，β＜30°，则cosβ＞cos30°.

在Rt△ABE4中，，此种情况舍去.

情形4：如图5所示，正三角形的三个顶点中的两个顶点与矩形较短边顶点重合，第三个在矩形内部.

结论1得证.

下面我们可以考虑几种特殊情况：

（2）当任意矩形为正方形，由结论2我们得到正方形内接最大正三角形面积为正方形边长平方的

由结论2我们可以考虑正五边形、正六边形……正n边形的内接最大正三角形问题，以正五边形和正六边形为例，当正三角形一边与正多边形一边重合时，此时面积最小，固定正三角形的一个顶点，拉着边往上移动，正三角形的面积逐渐增大，直到正三角形的第三个顶点落在正多边形边上时，面积最大并且唯一，此时的图形是轴对图形.我们设正五边形的边长为a，可以得到此时正五边形内接最大正三角形面积为同理，正六边形边长为a的话，它的内接最大正三角形面积为，并且我们发现此时正三角形的顶点正好在正六边形的间隔开的三个顶点上.以此类推，若是正九边形的话，其最大的内接正三角形的顶点也是在间隔开的三个顶点上.那么，凡是边数是3的倍数的多边形，其内接最大的正三角形的顶点一定在其等距间隔开的三个顶点上.而在两个倍数之间的正多边形，可采取分割多边形成三角形的思想和正弦定理，求出正三角形的边长，面积即可得.

三、实践操作

探究2：任意矩形内接正三角形的尺规作法.

下面我们可以尝试用尺规作图的方式将这三种情况通过作图作出来.定理1和定理2的作图比较容易，这里不再赘述.定理3在确定了a与b的情况下，tanα的值已知，在锐角范围内α的值也就唯一确定，从而矩形内部的正三角形也唯一确定.

举例：如图7，设单位长度为1，一边长a=2.4，另一边长为b=2.5（a与b可测），可利用如下方法尺规作图作出α的大小.

第一步：利用相似三角形的性质：如图7，AD=a，AE=1，AB=b，可得到，同时利用等边三角形作出

四、相关拓展

探究3：边长为a的正三角形的外接矩形面积的最小值.

要使得正三角形的外接矩形最小，应使得正三角形的边或顶点在外接矩形的边上，所以我们得到如下两种情况：

情况1：在图8中，正三角形MBC的一边BC与矩形的一边重合，此时外接矩形的另一条边AB即为正三角形MBC的高，则BC=a，，所以S=AB·ABCD

情况2：在图9中，设∠RBC=θ，则∠ABN=30°-θ.

在Rt△RBC中，BC=a·cosθ.

同理，在Rt△ABN中，AC=a·co（s30°-θ）.

要使得矩形ABCD的面积最小，就要使cos（30°-2θ）最小.根据余弦函数的单调性，可知当30°-2θ最大，即θ=0°时满足题意.此时与情况1完全一致.于是我们得到如下结论：