一题多解拓展视角，弃“量”从“精”提升能力*——以一道证明线段相等的几何题为例

☉福建省厦门大学附属实验中学 林运来

☉福建省泉州市丰泽区教育局 周玉宝

一、问题提出

培养中小学生智力灵活性最简单的办法就是求多解的练习.以一题多解为例，从各种规律中找出规律，便能举一反三，比盲目多做题的效果要好得多［1］.习题教学切不可就题论题，“一解而过”，而要引导学生从不同视角进行深度探究，充分挖掘习题背后隐性的价值和内涵，拓展学生数学思考的视角，提升学生的数学能力.因此，如何弃“量”从“精”，切实减轻学生过重的作业负担，全面提升学生分析问题的能力，便成为了习题教学的主旋律和一种高境界的追求［2］.

习题教学就其目标而言，除了巩固知识，主要还是培养学生的解题能力和完善学生的思维方式［2］.因此，习题教学中如何才能最大限度地提高课堂教学的有效性，让学生掌握数学知识的本质，领悟数学思想方法的精髓，提升数学思维品质，提高数学素养，的确是一个值得探索与急需解决的问题.数学对人的作用是以促进人的逻辑思维为首要的，而这一重要作用又与数学证明有着密切联系.笔者以一道“证明线段相等”的几何题为例开展一题多解训练，有一些心得体会，现写出来与大家交流，希望能抛砖引玉.

二、原题呈现

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是边AC、AB的中点，延长BC到点D，使2CD=BC，连接DE并延长交AF于点M.求证：点M是AF的中点.

三、教学片段呈现

［片段1】

师：从题目中你读出了哪几个条件？

生1：Rt△ABC，AE=CE，AF=BF，2CD=BC.

师：题目需要我们解决什么问题？

生2：证明点M是AF的中点.

师：这个问题还能怎样表示？

生3：证明AM=MF，或证明AF=2AM，或证明AF=2MF.

师：还有其他不同表示吗？

师：你能直观得出△AEF是什么三角形吗？

生5：直角三角形.

师：根据要证明的结论，我们可以选择组合方案“直角三角形AEF（已知可证）+M是AF的中点（结论）”，于是可以利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理进行证明.

思路1：利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理.

证法1：如图1，因为E、F分别是边AC、AB的中点，所以，即，所以，所以MD=3ME=ME+ED，则DE=2EM.

因为AE=EC，∠AEF=∠ECD=90°，EF=CD，所以△AEF △ECD，所以AF=DE=2EM.即M是AF的中点.

［片段2】

师：类比证法1的分析，你能提出解决问题的其他“已知+结论”的组合方案吗？

生6：选择组合方案“E是AC的中点（已知）+M是AF的中点（结论）”，可以利用三角形中位线定理的逆定理进行证明.

思路2：利用三角形中位线定理的逆定理.

证法2：如图2，连接CF.

因为E、F分别是边AC、AB的中点，所以EF∥BC，且2EF=BC.

又因为2CD=BC，且B、C、D三点共线，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四边形DCFE是平行四边形，则EM∥CF.因为E为AC的中点，所以M是AF的中点.

［片段3】

师：有没有考虑使用条件“2CD=BC”的？

生7：根据已知“点F是AB的中点”，结合要证明的结论，我发现2MF=BF，于是选择组合“2CD=BC（已知）+2MF=BF（结论转化）”，可以利用平行线分线段成比例定理进行证明.

生8：根据已知涉及线段中点较多，考虑延长CD到点G，使得CD=DG，可知“D为CG的中点，C为BG的中点”，刚好与“M为AF的中点，F为AB的中点”对应，于是可以利用平行线分线段成比例定理的逆定理进行证明.

思路3：利用平行线分线段成比例定理.

证明3：如图2，连接CF.

因为E、F分别是边AC、AB的中点，所以EF∥BC，且2EF=DC.

又因为2CD=BC，且B、C、D三点共线，所以EF∥DC，EF=DC.

所以四边形DCFE是平行四边形，所以DM∥CF.

所以M是AF的中点.

思路4：利用平行线分线段成比例定理的逆定理.

证明4：如图3，延长CD到点G，使得DG=CD，连接AG、CF.

因为D、E分别是CG、CA的中点，所以DE∥AG，即DM∥AG.

因为C、F分别是BG、BA的中点，所以CF∥AG.

所以CF∥DM∥AG.

因为D为GC的中点，所以M是AF的中点.

［片段4】

师：以上几种证明思路都非常棒！利用了直角三角形的性质、三角形的中位线、平行线的相关结论解决问题，解题思路稳中求胜.

师：问题涉及直角三角形，即有直线与直线垂直，还可以从什么角度进行探索？

（教师从另外一个角度提出问题，旨在引导学生再次进入新的探究活动中）

生9：还可以构造相似三角形，利用对应边成比例进行证明.

生10：还可以“戴上笛卡尔眼镜”，通过建立直角坐标系，利用代数方法“以算代证”.

（生10把教师平常教学中常说的话惟妙惟肖地演绎出来，全班同学不禁会心一笑）

思路5：利用相似三角形的性质.

证明5：如图4，作MH⊥BC，垂足为H.

由已知得MH∥AC，所以△BMH △BAC，△DCE△DHM.

所以M是AF的中点.

思路6：利用中点坐标公式.

证明6：如图5，以C为坐标原点，以CB为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 设点A（0，2b）、B（2a，0），则点D（-a，0）、E（0，b）、F（a，b）.

四、写在最后

1.解题教学要引导学生打通问题的条件与结论之间的“通道”

美国著名教育心理学家奥苏伯尔曾经说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.”［4］当面对一个新问题时，教师要引导学生明确思考方向，通过联想问题的结论与已经学过的相关内容之间的联系，并对这种联系加以认真思考，打通问题的条件和结论之间的“通道”，由此找到解决问题的思路和方法.

当然，以上几种解题思路并没有穷尽问题的思考方法，重要的是，以上不同解法涉及了几何中许多重要的定理，覆盖了多个几何知识点，多进行这样的解题训练，有助于减轻学生的学习负担，使学生学会梳理几何知识间的因果关系，了解需要理解哪些数学知识才能更好地解决任务，培养学生的逻辑思维能力，提高几何思维水平，进而培养学生的探索精神和创新能力.

2.解题教学应促进学生深度思考

良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育.在解题教学中，要从不同的认识层次、观察角度、知识背景和问题特点出发进行一题多解、一题多变［1］.一题多解有助于培养学生深度思考的能力和发散性思维.这里的一题多解就是基本活动经验，相同的方法就是数学的思想方法，数学思想方法是在基本活动经验中累积和提升的［3］.面对一题多解，既要多解归一、揭示实质，也要比较优逆势、择善而从.笔者让学生课后整理题目的不同解法、并对解法进行评鉴，既有助于学生把握解题实质，又培养了学生的辩证思维和选择能力.

解题教学要培养学生的深度思考能力，教师要克服将知识“大餐”端上来而不讲烹饪方法的倾向，要站在知识体系的高度去思考，善于发现和揭示问题的本质规律，结合具体问题将学科知识融会贯通、刨根问底，结合学生实际，对问题的深入思考与拓展做到自然而然、深入浅出，以问题为载体引导学生不断思考、不断优化，不断给学生以点点滴滴的思维启迪，培养学生的知识迁移能力，以及善于研究、实证的精神，培养和提升学生解决问题的能力，使学生成为学习的主人.真正将教师“教案中的方法”变成学生“头脑中的智慧”.