着力发展学生几何直观想象素养的若干途径

☉江苏省无锡市蠡园中学 周进荣

☉江苏省无锡市蠡园中学 周玲华

数学学科核心素养是《普通高中数学课程标准（2017年版）》课程目标的集中体现，直观想象是六个核心素养之一.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，几何直观可以帮助学生直观地理解数学.”借助几何直观进行思考，已经成为一种很重要的研究策略，在整个教学过程中都发挥着重要的作用.学生的几何直观有先天的成分，但是高水平的几何直观的养成，主要依赖于个体参与其中的几何活动.课堂是学生学习数学知识，也是发展数学学科核心素养的主阵地，本人结合课堂教学实践，谈谈发展学生的几何直观的几个主要途径，不当之处，恳请批评指正.

一、重视画图能力的培养，发展学生的几何直观

德国哲学家康德曾说：“如果没有感性，则对象不会被给予；如果没有知性，则对象不能被思考.没有内容的思想是空洞的，没有概念的直观是盲目的.”人的认识是由感性到知性，由知性到理性的过程.感性以直观提供对象，知性则以概念思考对象，两者相辅相成，缺一不可.几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.因此在许多问题解决中，往往需画图在前，分析在后.

案例1：如果每两个人之间要握一次手，则n个人共需握几次手？

图1

分析：本题中的“人”可以抽象为数学中的1个“点”，两个人握一次“手”，可以转化为“两点之间连接的一条线段”，如图1，第一个人A1要与余下的（n-1）个人（A2、A3、…、握手，需要握（n-1）次手，同样，第二个人也要握（n-1）次手，…，n个人握n（n-1）次手，由于A1→A2与A2→A1重复计算，所以n个人共需握次手.

评注：解决数学问题有两个基本视角——数和形，以“形”助“数”，以“数”解“形”.上述问题先把研究的“对象”抽象为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形关系”，借助画图，使问题变得简明.

案例2：（2017·自贡）如图2，一次函数y1=k1x＋b和反比例函数相交于A、B两点，其横坐标分别为-2和1，若y1＞y2，则x的取值范围为_______.

分析：y1是一次函数的值，y2是反比例函数的值，当y＞y时，此时不等式的解集求不出.于是换个12思考方向，从函数图像的角度进行比较，如图3，一次函数y1的图像是直线，反比例函数y2的图像是双曲线，当y1＞y2时x的取值范围，就是当直线高于双曲线时对应的自变量x的取值范围，由于直线和双曲线有交点A、B，以及反比例函数中自变量x≠0，于是过x轴上表示-2、0和1的三个点分别作x轴的垂线（分界线），整个平面被分成四个不同的区间，即：x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1和x＞1.观察图像：当x＜-2时（直线x=-2的左边），直线高于双曲线，符合y1＞y2；当-2＜x＜0时（直线x=-2和x=0之间），直线低于双曲线，不符合y1＞y2；当0＜x＜1时（直线x=0和x=1之间），直线高于双曲线，符合y1＞y2；当x＞1时（直线x=1的右边），直线低于双曲线，不符合y1＞y2.综上所述，若y1＞y2，则x的取值范围为x＜-2或0＜x＜1.

评注：几何图形也包括函数图像.函数图像，既有助于学生理解概念，建构数学结论（公式、定理、性质），也架起方程、不等式通往函数的“桥梁”，得出不等式的解集.

教学启示：直观、想象的载体是图形，数和形是数学研究与学习的基本对象，相对而言，形直观而数抽象.正如华罗庚先生所言：“数”缺“形”时少直观，“形”少“数”时难入微.在平时的教学中，要通过训练让学生感受图形的力量，经常画简图，看“图”说话，借“图”表达，借“图”探究，有时借助几何画板等数学软件的动态演示，使得图形更形象、更直观，学生更容易弄清问题的本质，而且可培养学生主动用图的意识，培养敏锐的识图能力.

二、重视“基本图形”的运用，发展学生的几何直观

史宁中先生认为“直观不是‘教’出来的，而是自己‘悟’出来的”，这就需要经验积累.课堂教学中，除了让学生掌握三角形、四边形、圆等重要的图形，还要有意识地强化对一些“基本图形”的运用，不断运用这些“基本图形”去发现、描述问题，理解、记忆结果，发展学生的几何直观.初中常见的基本图形有：“平行线＋角平分线=等腰三角形（如图4）”“双垂图（如图5）”“一线三等角（如图6）”等.下面以“一线三等角”为例，谈谈如何利用“基本图形”，发展学生的几何直观.

一线三等角是一种特殊的相似关系，也是初中重要的几何模型，如图6，它指的是当某条直线或线段的同一侧有依次排序的三个等角（∠C=∠BAD=∠E）时，首尾两角所在的三角形相似，即△ABC △DAE，这种特殊的相似称为“一线三等角”.

案例3：（2017·宿迁）如图7，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与B、C重合），满足∠DEF=∠B，且D、F分别在边AB、AC上.

（1）求证：△BDE △CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.

分析：（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF＋∠CEF=∠B＋∠BDE，即可判定∠CEF=∠BDE，根据相似三角形的判定可得△BDE △CEF.

评注：“一线三等角”是初中几何的基本模型，通过相似的比例关系建立方程或函数表示数量之间的变化关系，解决相关问题，是初中数学常用的方法，非常奏效.

“一线三等角”中有一种特殊的情形是某条直线或线段的同一侧依次排序的三个等角（∠C=∠ABE=∠D）都是90°，如图8，这个图形是八年级全等一章最常见的基本图形，我们把这一基本图形简称为“K字形”.

“K字形”是几何计算和证明最常用的几何图形，也是勾股定理“总统证法”的几何图形，构造“K字形”能够帮助学生寻找解题思路.

案例4：（2017·咸宁）如图9，在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴的正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为___________.

分析：由题意，如图10，过点B作BD⊥x轴于点D，由“K字形”可得△ACO △CBD（AAS），于是有OC=BD，OA=CD.因为A（0，2），C（1，0），所以OD=3，BD=1，则点B的坐标为（3，1），所以过点B的反比例函数的解析式为y=平移三角板，当顶点A恰好落在该双曲线上时，A′与A的纵坐标都是2，所以点A′的坐标为）.则点A向右平移的长度为，所以点C也向右平移了个单位长度，所以点C（1，0）的对应点C′的坐标为）.

评注：在几何教学中，要积极引导学生养成主动想图、作图和用图的习惯，培养学生敏锐的识图能力，并注意联想几何图形的形象关系；学会 “看”出思路，“看”出简洁，积极鼓励构造“基本图形”，不断积累方法和经验.

教学启示：在教学过程中，要有意识地给学生强化常见的“基本图形”.为了让学生的头脑中留住这些“基本图形”，教学时应该首先让学生识记这些“基本图形”，会说出它们的特点，并能熟练地画出它们的形状，讲出各边、角之间的关系，培养学生的创新思维和直观想象素养.

三、重视图形的变换，发展学生的几何直观

几何变换既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法.充分利用图形的变换（平移、旋转、轴对称）去认识、理解几何图形是培养几何直观的重要途径.

案例5：“平行四边形的性质”教学片段.

师：引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.图11中的四边形ABCD即为平行四边形.

操作思考：

O是▱ABCD的对角线AC的中点.用透明纸覆盖在图12上，描出▱ABCD及其对角线AC，再用大头针钉在点O处，将透明纸上的▱ABCD旋转180°.你有什么发现？

生1：点A与点C重合，点B与点D重合.

生2：▱ABCD是中心对称图形，点O是对称中心.

师：谁来证明一下？

生3：如图13，将平行四边形ABCD绕点O旋转180°，因为O是AC的中点，所以点A与点C重合，点C与点A重合.因为AB∥CD，可知∠1=∠2，所以AB落在射线CD上.因为AD∥BC，可知∠3=∠4，所以CB落在射线AD上.因为两条直线相交只有一个交点，所以点B（AB和CB的交点）与点D（CD和AD的交点）重合.连接BD，因为点B与点D关于点O对称，所以BD经过点O，且被点O平分.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心.

师：从证实▱ABCD是中心对称图形的过程中，你发现平行四边形还有哪些性质？

生4：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.

……

评注：平行四边形性质的推导是本节课的重点，也是难点.上述平行四边形性质的得出，一改传统用全等的方法，而是从图形的旋转角度，让图形动起来，去认识、理解、记忆平行四边形的性质，生动、形象展现问题的本质，促进了学生的数学理解，提高学生的思维能力和解决问题的能力.

教学启示：教学中让学生用运动变化的思想分析问题是一种核心的数学思维能力，同时这是数学几何直观的重要表现.案例5的教学，一方面，让学生体会数学问题怎样由静止发展为运动的演变过程，另一方面，学生能通过画图呈现出图形的整个运动变化过程，对增强学生借助图形发现和提出问题、分析解决问题的能力具有重要意义，是培养几何直观的重要载体.

四、重视数形结合，发展学生的几何直观

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径.”代数研究的对象是“数”，几何研究的对象是“形”.其实，“数”与“形”可以视为同一问题的不同角度的表现.有时以“形”给出，要读懂其隐含“数”的信息；有时以“数”呈现，要挖掘其“形”的意义，把抽象的代数问题转化为具体、直观的几何问题，根据几何图形的性质解决问题.

案例6：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为__________.

分析：本题中点M的坐标以代数符号表示，含两个变量，许多学生不知所措.这就需要挖掘代数符号的几何意义.根据题意，如图14，点P（0，2）是一个定点，而点M的坐标为-3），它是一个动点，由点M的横坐标和纵坐标的关系，可知点M在直线-3上运动.根据垂线段最短可知，如图14，当PM⊥AB时，PM的长最小.于是，如图15，过点M作MH⊥AO，垂足为H.

由题意知A（-4，0）、B（0，-3），则AB=5.

评注：数学家黎曼说：“每一个数学公式背后都有一个反映其本质的几何模型.”其实，许多代数问题的背后都有一个几何模型，有的模型是隐性的，不易发现，需要借助想象、借一双慧眼，挖掘其几何意义，构建直观模型，使复杂问题简单化，从而有效突破难点.这道难题的解答能如此简洁、流畅，是源于“洞察”出代数问题的几何背景，从几何视角揭示出问题的本质：抓住动点-3）的运动轨迹是一条直线3，再根据“点线之间，垂线段最短”这一性质解决问题.

教学启示：案例6构建了“图形与坐标”的模型.当然，由解决问题的需要，还可能构建其他几何直观模型，如圆、双曲线、抛物线等.这些问题都是通过数的特征，构建几何模型，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化.然而，“轨迹”思想和隐性信息的发掘是不少学生的软肋，需引起师生的重视.

新课标指出，直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.在直观想象核心素养的形成过程中，学生能进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形直观和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力.当然，培养直观想象素养还有很长的路，但随着各地新课标的实施，教育工作者会越来越重视学科核心素养的培养.今后的中、高考也会加大核心素养的考查力度，势必会倒逼数学教师立足课堂主阵地，潜心研究数学核心素养在课堂的落实.任务是艰巨的，但前途是光明的，值得我们为之做出不懈的努力.