简单多面体的外接球半径问题求解突破策略

谢能实

（连江黄如论中学，福建 福州 350500）

有关简单多面体的外接球问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考考查的一个热点。简单多面体的外接球问题，能很好地考查学生应用图形和空间想象思考问题的意识，考查学生的直观想象和逻辑推理等核心素养。作为高三复习的专题内容，简单多面体的外接球问题仍是立体几何的重点和难点。

一、补形法求半径

（一）补成长方体模型法

［例1］在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1,BC=，求三棱锥S-ABC的外接球的体积。

策略分析：补形法。

依题意得SA,AB,AC两两垂直，因此可以把三棱锥S-ABC补形成长方体ABDC-SB1D1C1，如图1所示。

图1

三棱锥S-ABC的外接球即为长方体ABDCSB1D1C1的外接球。

的

常见的可以补成长方体模型其实就是长方体八个顶点中选取四个顶点构成三棱锥。

图2

图3

图4

情形1（如图2），三棱锥B1-ABD，棱AB,BD,B1B两两垂直，可以补形成长方体；

情形2（如图3），三棱锥C1-ABD，侧面中直角三角形ABC1和直角三角形ADC1有公共斜边AC1，可以补形成长方体；

情形3（如图4），三棱锥A1-BDC1，三组对棱分别相等，可以补形成长方体。

特别地，当例1和情形1（如图2）中三条两两垂直的棱长相等时，可以补形成正方体；当情形3（如图4）中的三棱锥为正四面体时，可以补形成正方体。

（二）补成直棱柱模型法

［例2］在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=2，AC=BC= 3，求三棱锥S-ABC的外接球的半径。

策略分析：因为SA⊥平面ABC，所以可把三棱锥S-ABC（如图5）补成直棱柱（如图6），点 D,F分别是上下底面的外心，则DF的中点O即为外接球的球心。

图5

图6

通过例题可以发现，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，所以就转化为求相应直三棱柱和长方体外接球的问题。用补形法解决外接球的问题策略与途径：正四面体可补形成正方体；三条棱两两垂直的四面体可补形成长方体；三组相对的棱都相等的三棱锥可补形成长方体；共斜边的两个直角三角形为面的三棱锥可补形成长方体；一条侧棱垂直于底面的棱锥可补成直三棱柱。

二、外心定球心法求半径

［例3］正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积。

解析：如图7，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，

∵正四棱锥P-ABCD，AB=2,

图7

∴ AO′= 2，

∵ PO′=4，

∴在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2，

［例4］已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AD ⊥ AB，AB=2,AC=CD=1，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥D-ABC，当二面角D-AC-B是直二面角时，求三棱锥D-AB的外接球的体积。

图8

解析：如图，由条件知△ABC是以AB为直径的直角三角形，

所以OD=1，从而OC=OB=OA=OD=1，即O为三棱锥D-ABC的外接球的球心，R=1，故三棱锥D-ABC的外接球的体积为

一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的面的外接圆的圆心，且垂直于这个面的直线上。实施以外心探索球心的方法求解外接球半径问题的策略，分以下步骤：

（1）找多面体某个面的外心；

（2）再找这个面的过这个外心的垂线（球心在此垂线上）；

（3）利用球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系，d2+r2=R2求外接球半径。其中，等边三角形的外心，即中心；直角三角形的外心就是斜边中点，r为斜边一半；非特殊三角形，可用正弦定求其外接圆半径。

解决外接球半径的问题，主要突破策略是补形和以外心探索球心这两种方法。补形法是解决三棱锥外接球问题非常重要的数学方法，学生在做题时如果准确把握和识别应用补形法的条件，就能将复杂的问题简单化，提高解题效率。以外心探索球心的方法，就是选择最佳角度找出含有多面体特征元素的外接球的球心位置，进一步求得球的半径，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究的一种方法。

三、轨迹法求半径

解决简单多面体的外接球问题时，方法的选择在依据试题给出的条件，以上给出了解决简单多面体外接球问题的常见的方法，遇到较为复杂的问题，要应用化归思想转化为上述的解题策略来解决的。

图9

［例5］在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=AB=BC=2，求 三 棱 锥 PABC的外接球的半径。

解析：如图，设点M和点G分别是△PAC和△ABC外心，过M作MO⊥平面PAC，过G作GO⊥平面ABC，MO与GO交于点O，则点O为棱锥P-ABC的外接球的球心。

此题通过两次应用以外心探索球心的方法，找出球心O的位置，然后找到相应的等量关系求出外接球半径。

［例6］空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E,F分别是AB,CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，求该球的半径。

策略分析：四面体ABCD的四个面都无法确定，因此无法确定各个面的外心，无法用补形法或以外心探索球心法解决此题。在无法确定外接球的球心时，我们尽量想办法缩小球心的位置区域。其实，到C,D两点的距离相等的点的轨迹是过EF且垂直直线CD的平面，到A,B点的距离相等的点的轨迹是过EF且垂直直线AB的平面，因此，外心应在直线EF上，如图10所示。

图10

此题是通过球心落在棱的中垂面上来求解。因此，解无定法，只有通过不断学习，积累数学活动经验，提高数学解题能力，才能在千变万化的条件中找到解题的策略与方法。

总之，多面体的外接球问题是有关球的问题的基本题型之一，它能全方位、多角度、深层次考查空间想象能力，培养直观想象的核心素养。这类问题由于不易画图而变得抽象难解，寻找球心也成为解决此类问题的难点和关键。限于篇幅，以上仅重点介绍补形和以外心探索球心这两种基本方法，并结合运动观点探究轨迹法求外接球半径，达到掌握解决此类问题的策略和途径。