高等数学教学中的一题多解

【摘要】数学教学是数学思维活动的教学，除了掌握基本知识、基本技能外，还要培养学生的思维能力。不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。本文通过一些典型问题的一题多解来培养学生的发散思维和创新精神，开阔解题思路，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

【关键词】高等数学 一题多解 发散思维

【基金项目】陕西省教育厅科学研究项目（17JK0962）；陕西省职业技术教育学会2016 年度教育科研规划课项目（SZJY-1657）；商洛职业技术学院2017 年度重大课题（2017JXKT06）。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0114-02

高等数学是大学里一门十分重要的公共基础课程，但在实际教学中，很多学生的解题能力往往得不到提高，分析其原因主要就是学生解题思维得不到锻炼，为了做题而做题，不能举一反三。对同一道题，如果从不同的角度去分析，采用不同的处理方法，则可得到不同的解法，通过比较，可选择最优的解法，这对培养学生分析问题，解决问题以及综合运用知识的能力有极大的好处。为此，以下通过高等数学中几个“一题多解”的例子，给出发散思维在高等数学中的应用。

1.重要极限的计算

例1 求极限 （1+ ）

解法1：当x=n（正整数）时，设数列u =（1+ ） ，只需证该数列是单调有界的即可。为此计算：

u =（1+ ） =1+n + + +…+

=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+

（1- ）（1- ）+…+（1- ）

类似地可计算

un+1=（1+ ）n+1=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+ （1- ）（1- ）+…+（1- ）+ （1- ）（1- ）…（1- ）

比較u 与u 的展开式，可知除前两项外，u 中的每一项都小于u 中的对应项，且u 比u 多了最后的正数项。所以

u

把u 中每个括号内用1代替，则

u ≤1+1+ + +…+

≤1+1+ + + +…+

=1+ <1+ =3

即数列u 有界。从而知，当n→∞时，数列un=（1+ ） 的极限存在，其极限用e表示。

解法2：

（1+ ） = e = e =e

=e =e =e =e

2.函数的反常积分

例2 xe dx

解法1：

xe dx=- e d（-x ）=- e +∞-∞=- +∞-∞=0

解法2：设f（x）=xe ，则f（-x）=-xe ，f（-x）=-f（x）

所以f（x）是奇函数。

由f（x）是偶函数时 f（x）dx=2 f（x）dx，是奇函数时 f（x）dx=0得 xe dx=0

例3 dx

解法1：

dx= dx= t1= （- + ）=

解法2：

dx=- +c

dx= （- ）-（- ）=

解法3：

由当x≤1时， dx发散；当x>1时， dx= 得 dx= =

3.函数的定积分

例4 求定积分 dx

解法1：结合定积分的几何意义，该定积分为由曲线 y= ，x=0，x=R及x轴所围图形的面积，即以R为半径的四分之一圆的面积，故 dx= πR 。

解法2：令x=Rsint，则dx=Rcostdt，且当x=R时，t= ，于是：

dx= ·Rcostdt=R cos tdt=R dt=R （ t+ sin2t） 0= πR

高等数学中，能利用一题多解例子还有很多，在平时教学

中，教师要积极引导学生进行这方面的训练，不仅能巩固基本

知识，掌握基本技能技巧，而且有助于培养全面分析问题的能

力，培养具有灵活性和多向思维能力。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等数学[M].北京：机械出版社，2013.

[3]黄炜.经济学[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等数学[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

作者简介：

龚加安（1975-），男，陕西商州人，硕士，商洛职业技术学院副教授，研究方向：不确定性推理和数学教育教学。