“人教版”与“北师大版”初中数学教材勾股定理内容的比较研究

邱 亮

(河南省驻马店市基础教学研究室 463000)

一、问题背景

在我国，随着基础教育课程的改革，初中数学教材存在人教版、北师大版、浙教版、苏科版、冀教版等多种版本，不同版本数学教材的出现使得各个地区根据自己的特点选择适合自己地区的教材，同时也为各地教师提供了更加宽广的教学空间.因此教材的改革与完善对于保证基础教育质量和组织学生学习、实施课堂教学具有重要作用.本文选取“人教版”与“北师大版”中的“勾股定理”这一节进行比较研究.

1.勾股定理的名称

勾股定理是个基本的几何定理，在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理.并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵.因而这一定理又有了“百牛定理”的称法.在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”.在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”.至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是.

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理.五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论.有人主张叫“商高定理”.因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的.在数学著作《周髀算经》一书中，记载有商高与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法.不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子提出.他说：“……勾股各自乘，并而开方除之……”这是普遍勾股定理在我国的最早记载.故有人主张应称为“陈子定理 ”.后来决定不用人名，而称为 “勾股定理”.单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了.

2.勾股定理的意义

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它通过数与形的结合，揭示了直角三角形三条边之间的关系,是后面学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化.

二、比较方法

1.体系结构

按照人教版八年级下册，北师大版八年级上册、八年级下册中“勾股定理”的相关内容的具体章节编排顺序，绘制表格如下：

表1 人教版与北师大版教材中勾股定理内容

从表1可以看出，两个版本的教材包含的基本知识点都符合《课程标准》的要求，包含勾股定理、勾股定理的逆定理.

但从教材编排上看，人教版教材将勾股定理的相关内容安排在八年级下册,而且是在学完二次根式之后学习勾股定理，这样编排紧凑，避免出现计算上的问题.北师大版将勾股定理的相关内同安排在八年级上册,二次根式在本章之后，由于学生没有学习二次根式，在编制习题时需要注意运算结果如何保留，但是在八年级下册三角形的证明一章中,直角三角形这一节又对勾股定理相关知识进行了复习，这样编排比较分散，但是知识点的反复出现，促进了学生对相关知识点的巩固强化.

在勾股定理内部章节安排上，人教版分为两节：勾股定理、勾股定理的逆定理，各个小节名称条目清晰明确，教材编写更具知识的系统性、完整性，比如每个命题都有详细的证明过程，之后再呈现定理和逆定理的概念，注重知识发生过程，利于培养学生思维能力.北师大版分为三节：探索勾股定理、一定是直角三角形吗、勾股定理的应用，各个小节名称洋溢着几分活泼的生机，彰显数学需要探索、更需要实际应用的理念，然而北师大版通过做一做活动直接呈现定理的概念，缺失必要的证明过程.

2.插图配置

《课程标准》指出教材的呈现方式应该多样化，可以将图片、文字、表格、动漫、视频等呈现方式结合起来，使学生能够积极主动参与到整个教学过程中，从而增强学生学习数学的兴趣. 插图配置在数学教材中必不可少，它对数学教学的顺利推进以及学生正确理解所学的知识等都具有重要的作用.

首先，教师可以通过插图来推进本节课所学的知识.例如：人教版八年级下册第十七章的章前图，该图中的左侧图案是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与勾股定理有着密切的关系，从而引入本章主题勾股定理.

其次，插图的编排对于调动学生学习数学的积极性以及学习兴趣产生积极作用.生动形象的插图，是学生枯燥的学习中的调味剂.

本文将插图分为两类：数学插图和装饰性图案.数学插图是指与数学有关对文字内容起到补充说明或表明数学内容的背景以帮助学生理解数学内容的插图；装饰性插图是指与数学内容没有多大的关系，只是为了让教科书更美观、增加教科书可读性的插图.

下面就人教版和北师大版勾股定理一章中正文的插图数量进行比较：

表2 人教版与北师大版教材中勾股定理中插图数量统计

通过表2中统计的数量可知，人教版数学插图数量略大于北师大版，说明在勾股定理这一章中人教版更注重文字与图形结合，让学生更好地理解勾股定理相关证明.同时人教版这一章中使用装饰性插图，而北师大版没有，说明在本章中人教版更注重页面的美化，可读性，更吸引学生的兴趣.

3.习题配置

习题是初中数学教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可或缺的重要环节，高质量的课堂教学必须有较高的习题质量作基础.这里仅对两个版本中勾股定理一章习题、复习题的分类进行比较分析.在习题的分类上，北师大版将习题和复习题分为四类：知识技能、数学理解、问题解决、练习拓广.人教版将习题和复习题分为三类：复习巩固、综合运用、拓广探索.说明：这里不包含“练习”(或“随堂练习”).将两个版本中勾股定理章节习题数量统计如下：

表3 人教版习题、复习题分类

表4 北师大版习题、复习题分类

通过表3、表4数据可知，人教版习题、复习题包含复习巩固、综合运用、拓广探索三种类型，满足了学生不同程度的需求，对已有知识进行了复习巩固，灵活运用；北师大版习题、复习题基本上知识技能、数学理解、问题解决、练习拓广四种类型都包含，满足学生不同层级的需求，促进学生对课堂上所学知识的理解、掌握与运用.由于勾股定理的应用一节是对前两节所学知识的应用，本节习题没有包含数学理解和练习拓广也是合理的.这两个版本虽然习题分类不一样，但实质上北师大版的知识技能与数学理解等价于人教版的复习巩固，问题解决等价于综合运用，练习拓广等价于拓广探索，它们都满足了学生的学习需求.

4.数学史融入比较

由于勾股定理有着深厚的历史渊源，讲解勾股定理必然要插入相关的数学史，下面统计人教版和北师大版量勾股定理一章中插入的数学史的相关知识情况.统计范围贯穿从主题页到复习题整个章节中.

表5 人教版与北师大版教材中勾股定理中数学史融入情况统计

通过表5中数据可知，人教版教材融入数学史的内容明显多于北师大版教材，人教版融入数学史的内容共有7处，分别位于第17章章节主题页、节内容、习题和阅读与思考这几个环节；北师大版融入数学史的内容只有4处，出现在习题和读一读中.

通过比较，人教版涉及数学史内容丰富，出现的位置也多样化，贯穿勾股定理各个环节中，分布均匀；北师大版相比较则内容单调，分布位置单一.总的来说人教版比较重视数学史融入教材的理念，让学生全面了解勾股定理发展的全过程，体会勾股定理形成的历史，然而过多的数学史插入又会增加课堂教学的容量，有些活动只能在课下让学生自主完成.这一方面北师大版做得稍微合理些，将数学史与课后习题相结合，学生在课下查阅资料做题，提升学生课下自主学习的趣味性，同时合理安排学生课堂时间，提高教与学的效率.

三、结论

1.体系结构方面.两个版本教材的知识点都按照勾股定理、勾股定理的逆定理的形式展开，但编排顺序存在较大差别.在章与章之间的安排上，人教版教材编排严谨，先学二次根式，再学勾股定理，注重知识之间的连贯性和逻辑性，减少学生学习的负担；北师大版先学勾股定理，再学二次根式，不利于学生学习勾股定理时开方计算，给学生的计算带来负担，但在下册学习直角三角形一节中又复习了勾股定理，弥补了不足.在章内安排上，人教版教材的编写更具有系统性、完整性，比如每个命题都有详细的证明过程，之后再呈现定理和逆定理的概念，注重知识发生过程，利于培养学生思维能力；而北师大版教材知识结构体系层次性较强，章节设置合理，尤其第3小节勾股定理的应用，体现出数学教学知识紧密联系实际的实用价值.

2.插图配置方面.两版本教材都使用了大量插图来丰富教材内容，图文并茂，符合学生的年龄特征和认知规律.人教版相较北师大版更注重文字与图形结合，让学生更好地理解勾股定理相关证明.

3.习题配置方面.在习题的分类上，两版本虽然略有不同，但实质上是等价的，都满足了学生的需求.

4.数学史融入比较方面.两个版本都尝试使用数学史辅助教学，便于学生好地理解掌握勾股定理.但人教版涉及的数学史融入的内容较多，北师大版则比较单调，但位置稍合理些，节省教学时间.人教版数学史融入的内容丰富，包含8个数学史资料，促进学生理解和掌握勾股定理的发展和证明，同时对于培养学生的阅读能力和情感内涵也有强烈提升价值；北师大版融入数学史的内容虽然只有4处，但其引用数学史的位置分布较为合理些，4处均属于课下自主学习部分，有利于合理安排学生课堂时间，保证教学时间，提升课堂效率.

四、建议

1.对教材编写的建议

在体系结构上，人教版编排紧凑，逻辑严谨，但在章内安排上可以做一些调整，比如将知识点的编排可以适当进行细化，特别是针对学生难以理解的内容可以采取螺旋上升的方式进行编排；北师大版在章与章的整体框架上建议二次根式的相关内容放在勾股定理之后进行学习，这样更符合学生的认知规律.

在插图配置上，两个版本的装饰性图都过少，建议合理地增加装饰性的数量，注重页面的美化，可读性，从而提高学生的学习兴趣.

在习题配置上，两个版本都有大量习题，而勾股定理的逆定理的相关习题均过少，可以适量地增加这方面的习题；人教版的习题类型分配比较常规化：复习巩固、综合运用、拓广探索，而北师大版的习题分类则更符合学生的认知：知识技能、数学理解、问题解决、练习拓广，人教版可以学习北师大版将习题的分类进行细化.

在数学史融入上，人教版数学史内容丰富，但分布比较分散，应考虑学生课堂时间安排的合理性.北师大版数学史过少，且都放在课下，在节中未提及证明方法，这种编排有助于学生进行自主探索，但不利于知识过程的完整性和紧密性.相反人教版将命题与证明相结合，让学生只管的感受了定理的证明过程.

2.对教学的建议

对于教材的使用者，可以以本地区所使用的教材为基础，同时可以引入其它版本教材的内容作为补充.在教学过程中应该学会利用自身优势，对不同版本的教材中的内容进行参考，集百家之长，取长补短.比如人教版讲授勾股定理时，可以学习北师大版将知识点细化，更有助于学生对知识的理解.北师大版讲授勾股定理时，可以注重知识的系统性和完整性，将勾股定理的证明方法适当的穿插其中，便于学生理解和掌握勾股定理的证明方法.

在习题的选取上，教师可以结合两个版本的习题，灵活分配不同类型的习题；在数学史的阅读上，重视数学史发展趋势的完整性，适当的增减内容以辅助教学，提高教学效率，同时寓教于乐，增加学生学习内容的趣味性.