PT对称Bell态的经典纠缠与CPT纠缠

李晓玉, 勇鑫蕾, 陶元红

(延边大学 理学院数学系, 吉林 延吉 133002)

目前, 关于宇称-时间(PT)对称量子理论[1]的研究已取得很多成果[2-10]. 经典量子力学中可观测量由Hermite算子表示, 封闭系统的演化由幺正算子约束, 在PT对称量子力学中, 算子满足电荷正负、 宇称和时间(CPT)反演对称条件. 由于CPT对称条件在经典量子理论中是Hermite条件, 因此CPT对称条件是Hermite条件的推广. 量子纠缠在量子信息处理和量子通信中应用广泛. 文献[10]在PT对称量子理论中给出了CPT纠缠的定义, 并讨论了经典EPR态在PT对称量子理论下的CPT纠缠度, 证明了EPR态在PT对称量子理论下不再是最大纠缠态. 本文讨论PT对称量子理论中Bell态的经典纠缠问题, 并对比PT对称量子态在两种量子系统下的纠缠变化.

1 PT对称量子理论中的CPT内积与量子态

文献[5]在PT对称量子理论中讨论了如下2×2的Hamilton算子：

(1)

(2)

二维PT对称量子理论中向量|ψ〉的CPT转置共轭定义[5]为

〈ψ|CPT=[(CPT)|ψ〉]T,

(3)

其中T表示矩阵的转置, 进而2个向量|ψ〉和|φ〉的CPT内积[10]定义为

〈ψ|φ〉CPT=[(CPT)|ψ〉]T·|φ〉,

(4)

其中

(5)

显然, 式(2)中的态满足：

〈ψ±|ψ±〉CPT=1, 〈ψ±|ψ∓〉CPT=0,

于是可设

|0CPT〉=|ψ+〉, |1CPT〉=|ψ-〉.

考虑PT对称Hamilton算子(1)的两体量子系统H1⊗H2, 该复合系统的态将处在由联合基{|0CPT〉⊗|0CPT〉,|0CPT〉⊗|1CPT〉,|1CPT〉⊗|0CPT〉,|1CPT〉⊗|1CPT〉}张成的4维Hilbert空间H1⊗H2中. 任意一个双PT量子态|Ψ〉∈H1⊗H2可展开为

|Ψ〉=a|0CPT〉⊗|0CPT〉+b|0CPT〉⊗|1CPT〉+c|1CPT〉⊗|0CPT〉+d|1CPT〉⊗|1CPT〉,

(6)

其中a,b,c,d均为复数, 且

对任意两个向量|Ψ〉,|Φ〉∈H1⊗H2, 它们之间的CPT内积[10]定义为

〈Ψ|Φ〉CPT=[(CPT)⊗(CPT)|Ψ〉]T·|Φ〉.

(7)

定义1[10]若两体复合系统H1⊗H2的纯态|Ψ〉不能写成|φ〉1⊗|φ〉2形式, 其中: |φ〉1∈H1; |φ〉2∈H2. 则称态|Ψ〉为纠缠态.

显然, 若复振幅a,b,c,d取一般值, 则式(6)中的两体PT量子态|Ψ〉∈H1⊗H2是一个纠缠态.

2 经典量子理论中的纠缠及其度量

设|Ψ12〉为两体量子系统H1⊗H2中的纯态, 其经典密度算子为

ρ12=|Ψ12〉〈Ψ12|,

(8)

约化密度算子分别定义为

ρ1=tr2ρ12,ρ2=tr1ρ12,

(9)

其中tri为偏迹算子.

对两体复合系统H1⊗H2的纯态|Ψ12〉, 可以量化其纠缠度量, 由任何一个子系统上约化密度矩阵的熵定义, 即

E(|Ψ12〉)=-tr(ρ1logρ1)=-tr(ρ2logρ2),

(10)

显然0≤E(|Ψ12〉)≤1. 当E(|Ψ12〉)=0时, |Ψ12〉是可分态. 当各子系统的密度矩阵为常数倍的单位矩阵时,E(|Ψ12〉)=1, 此时称|Ψ12〉为最大纠缠态.

文献[10]定义了两体复合系统中PT对称量子态的纠缠度量.

3 PT对称Bell态的Hermite纠缠分析

类似经典量子理论中Bell态, 可定义如下4个PT对称Bell态：

(11)

按照文献[10]的纠缠度定义, 它们均为CPT内积下的最大纠缠态. 式(11)中4个态的矩阵分别表示为：

由于CPT内积与Hermite内积不同, 因此对上述4个PT对称Bell态的经典纠缠进行分析, 应先讨论其是否为经典量子态. 易得|Φ-〉和|Ψ-〉的普通范数为1, 即为经典量子态, 可以计算其经典纠缠度. 由于|Φ+〉和|Ψ+〉的普通范数为

不再总是经典量子态, 无法直接计算其经典纠缠度. 因此, 先将|Φ+〉和|Ψ+〉在Hermite内积下进行规范化, 变为如下经典量子态：

其中*表示转置共轭. 于是可求得

(14)

(15)

其约化密度矩阵为

(17)

对应的特征方程为

(18)

即

特征值为

(19)

于是, 经典纠缠度为

(21)

易得其他2个PT对称Bell态|Φ-〉和|Ψ-〉在Hermite内积下的约化密度矩阵均为