含p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性

张 静, 韩晓玲

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

含p-Laplace算子的方程在燃烧理论[1]、 种群生物学[2-3]以及分数阶系统[4-5]等领域应用广泛. 文献[6-10]研究了含p-Laplace算子的二阶和四阶Sturm-Liouville边值问题正解的存在性, 表明大多数的解均为对称的. 因为三阶微分方程的解不是对称的, 所以关于含p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville边值问题正解存在性的研究文献报道较少. 文献[11]讨论了含p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville边值问题

基于上述工作, 本文主要应用Krasnosel’skii不动点定理, 考虑含p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville边值问题

假设:

(H1)f: [0,1]×[0,+∞)××→[0,+∞)连续;

(H3)α,β,γ,δ≥0且ρ∶=γβ+αγ+αδ>0.

1 预备知识

1) ‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2;

2) ‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2.

引理1边值问题(1)-(2)有解u=u(t), 当且仅当u是算子方程

的解, 即Au=u. 这里G(t,s)是微分方程u″(t)=0,t∈(0,1)结合边界条件(2)的Green函数, 且

(3)

证明: 显然G(t,s)≥0, 0≤t,s≤1,

所以

从而可得

(φp(u″(t)))′=-q(t)f(t,u(t),u′(t),u″(t)).

进一步, 有

又有u″(0)=0, 因此算子A的不动点是问题(1)-(2)的解.

下面证明A:K→K是全连续的. 记

(4)

是C[0,1]中的锥, 其中

(5)

易得0≤G(t,s)≤G(s,s), 0≤t,s≤1. 因此, 若u∈K, 则

从而

进一步, 对1/4≤t≤3/4, 有

故G(t,s)≥MG(s,s), 1/4≤t≤3/4. 因此, 若u∈K, 则

从而可得AK⊂K. 设Ω⊂K有界, 即存在R>0, 使得Ω⊂{u∈K|‖u‖≤R}. 记

N=max{f(t,u(t),u′(t),u″(t))|t∈[0,1],u∈Ω}.

对∀u∈Ω, 有

从而A(Ω)是等度连续的. 由于f是连续的, 由控制收敛定理可知,A在Ω中是连续的, 因此由Arzela-Ascoli定理可知T:K→K是全连续的.

2 主要结果

定理2假设条件(H1)～(H3)成立, 若f满足下列条件之一:

则边值问题(1)-(2)至少有一个正解. 条件1)称为超线性, 条件2)称为次线性.

证明: 由范数的定义, 可得

1) 超线性情形.

因为f0=0, 所以存在H1>0, 使得对∀t∈[0,1], 00, 满足

如果u∈K, ‖u‖=H1, 则由式(6),(7), 有

(9)

因此, 由式(4),(8)得

2) 次线性情形.

(10)

式中M在1)的证明中已给出. 则对u∈K, ‖u‖=H1, 由式(10)有

(11)

下面分两种情形讨论.

① 设f有界. 即存在L, 使得对∀t∈[0,1], ((u(t),u′(t),u″(t))∈[0,+∞)××, 有

f(t,u(t),u′(t),u″(t))≤Lp-1.

(12)

记

则当u∈K, ‖u‖=H2时, 由式(6),(12)有

因此‖Au‖≤‖u‖.

② 设f无界. 因为f: [0,1]×[0,+∞)××→[0,+∞)连续, 因此存在t0∈[0,1]和使得

).

(13)

则对u∈K, ‖u‖=H2, 由式(6),(13),(11)有

综上, 记Ω2∶={u∈E: ‖u‖

3 实 例

考虑如下含p-Laplace算子的三阶Sturm-Liouville边值问题

正解的存在性, 这里:f=(u(t)+u′(t)+u″(t))1/2+1;p=4;α=β=γ=1;δ=0. 易得

显然f连续, 从而可知假设条件(H1)～(H3)成立.

另一方面,

由定理2可知边值问题(14)-(15)存在一个正解.