三缸发动机平衡系统弹性齿轮力学特性分析
2018-11-05姜晓帅李刚炎王平俊熊峰
姜晓帅，李刚炎，王平俊，熊峰
(武汉理工大学 机电工程学院， 湖北 武汉 430070)
0 引言
弹性齿轮是指腹板具有一定柔性的齿轮，又称为柔性腹板齿轮[1-2]。弹性齿轮能够减小轮齿接触应力[1] 43，降低传动过程中的振动和噪声[2-5]，广泛地应用在机械传动系统中，也因此成为国内外众多学者研究的重点，在结构方面，顾玉华[2] 15-16、Helmut Swars[3]等提出了在齿轮腹板上添加柔性件的弹性齿轮设计，轮毂和齿圈为一个整体；王建军[5]提出了齿圈与轮毂分离式的弹性齿轮，通过螺栓或键连接的方式在齿圈与轮毂中间附加橡胶；黎冠中、戚文星[6]介绍了多种形式的弹性齿轮制作和橡胶材料的研究。虽然国内外对齿轮的研究已有很多，但对弹性齿轮橡胶参数对其应力应变的影响的相关研究鲜见，而齿轮接触疲劳强度和齿根疲劳强度是避免齿轮发生齿面磨损或齿根断裂等破坏现象，并保障设备运行安全、可靠的关键，因此，本文的研究具有一定的工程指导意义。
1 弹性齿轮及其参数化模型
1.1 弹性齿轮结构与功用
三缸发动机平衡系统弹性齿轮由轮毂、橡胶和外齿圈3部分组成。轮毂和外齿圈采用分离式设计，由粉末冶金工艺制造而成，不通过螺栓或键等机械方式联接，而是通过橡胶硫化工艺在二者中间形成一定厚度的橡胶环，同时，将轮毂和外齿圈粘接成为一个整体，弹性齿轮结构如图1所示。弹性齿轮粉末冶金材料为FC-0205-80HT(美国MPIF标准35)，橡胶材料为氢化丁腈胶(HNBR，hydrogenate nitrile)。
图1 弹性齿轮结构
发动机平衡系统弹性齿轮作为发动机曲轴与平衡轴之间的传动构件，保证平衡轴与曲轴之间按一定转速比旋转，实现平衡发动机倾覆力矩的作用。同时，相对全金属齿轮，弹性齿轮能够降低传动过程中的振动和噪声。
1.2 弹性齿轮参数化模型
1) 齿轮参数
弹性齿轮为渐开线齿轮，模数为1.5，齿数67，压力角20°，齿宽12mm，变位系数-1.332。
2) 齿廓方程
如图2所示，以齿轮几何中心o点为坐标原点，以齿厚对称线为坐标系y轴，建立直角坐标系o-xy。实际的齿轮齿廓由齿顶圆圆弧AB，渐开线BC，齿根过渡圆CD和齿根圆圆弧DE组成。
图2 齿轮齿廓示意图
在齿轮建模中，齿顶圆、齿根圆以及渐开线方程的建立已研究较多，这里不再赘述。齿根过渡圆曲线CD与齿轮的加工刀具参数有关，文献[7] 给出了由齿条型刀具加工的齿轮齿根过渡圆曲线方程：
(1)
3) 参数化模型
基于以上弹性齿轮的参数与齿廓曲线，利用Pro/E软件建立精确的齿轮模型如图1(b)所示。
2 弹性齿轮有限元分析
2.1 弹性齿轮有限元分析理论
经典力学理论确定了物体动力学的通用方程为:
(2)
[K]{x}={F}
(3)
齿轮的受力和变形主要在啮合传动过程中，弹性齿轮橡胶结构必将对其综合啮合刚度带来影响，继而影响其力学特性。采用集中质量方法，将弹性齿轮外齿圈简化为质量块M；驱动齿轮与弹性齿轮外齿圈的啮合刚度km和啮合阻尼简化cm为由弹簧和阻尼器构成的连接件；橡胶的扭转刚度转变为沿啮合线方向的位移刚度kT与位移阻尼cT，同样将其视为一个由弹簧和阻尼器构成的连接件。简化后的两个连接件为串联关系，如图 3 所示，ke、cm分别等效后的啮合刚度和啮合刚阻尼。
图3 弹性齿轮啮合刚度等效模型
由刚度的串联关系可得，弹性齿轮等效啮合刚度为:
(4)
2.2 材料及其参数
1) 粉末冶金材料参数
粉末冶金材料牌号为FC-0205-80HT，其杨氏模量为130 GPa，泊松比为0.27，密度为6.8 g/cm3。
2) 橡胶材料常数
根据橡胶本构关系模型选择要求，结合弹性齿轮橡胶小变形等特点，选择Mooney-Rivlin模型[9]作为橡胶的分析模型。HNBR为软质橡胶，其硬度HS与Mooney-Rivlin模型中材料常数C10，C01之间的关系[10]为：
(5)
根据式(5)，可确定不同橡胶硬度HS(HS55、HS60、HS65、HS70、HS75)，不同C01/C10值[11](0.05、0.1、0.15、0.2、0.25)下的橡胶材料常数C10、C01的值。
2.3 弹性齿轮工况分析与边界条件设置
弹性齿轮作为发动机的平衡系统的传动构件，其转速高、受变载荷冲击频繁，承受最大动态扭矩为40N·m，轴承、缸体等支撑刚度较大，忽略其弹性变形对齿轮受力的影响。
驱动齿轮与弹性齿轮的齿形及大小相同，设置对称接触，摩擦系数为0.08，考虑大变形影响，接触刚度设为1.0；对两齿轮均设置相对地面的转动副，限制其他自由度，驱动齿轮设置转速，弹性齿轮设置转矩，因转矩是影响齿轮受力情况的主要因素，考虑最恶劣工况下的齿轮受力情况，设置最大承载力矩为40N·m。
3 弹性齿轮应力与应变特性分析
3.1 弹性齿轮与全金属齿轮应力与应变特性对比
取弹性齿轮橡胶参数：厚度为3.5mm，宽度为13mm，硬度HS60，C01/C10=0.25(经验证C01/C10值对齿轮应力应变几乎没有影响)下材料常数。相同工况下，弹性齿轮和全金属刚性齿轮的应力与应变如图4—图7所示。
图4 弹性齿轮应力
图5 金属齿轮应力
利用Hertz接触理论求得全金属齿轮的最大接触应力约为193 MPa，误差为5%，说明有限元分析结果正确。
由图4、图5可知，弹性齿轮和金属齿轮的齿根部位应力较为集中，最大应力均出现在齿顶部位，符合齿轮受力特征。金属齿轮最大应力为184 MPa，弹性齿轮最大应力为140 MPa，应力减少约24%，初步说明弹性齿轮降低了接触应力，结论与文献[1] 结果相符。
图6 弹性齿轮应变
图7 金属齿轮应变
由图6、图7可知，全金属齿轮应变集中与轮齿部位，弹性齿轮降低了轮齿接触的应力变形，最大应变位置和主要应变位置由轮齿部位转变为腹板处的橡胶部位，最大应变为0.309mm。这是因为橡胶比金属材料强度、硬度小，而阻尼高，能够吸收冲击能量。
3.2 橡胶参数对弹性齿轮应力与应变的影响
在弹性齿轮有限元模型的基础上，研究橡胶的硬度、厚度(沿齿轮径向尺寸)和宽度(沿齿轮轴线尺寸)对弹性齿轮应力与应变的影响。
1) 正交实验方案的设计
正交实验设计[12]的关键在于明确实验指标，确定实验因素及水平，选择合适的正交实验表。本文以弹性齿轮应力与应变为分析指标，其值越小越好，选取橡胶的硬度、厚度和宽度作为正交实验的考查因素。
在正交实验中，一般实验因素的水平以2～4个水平为宜，本文取3个因素水平。依据工程实际的要求和专业知识确定实验的因素水平，选择正交表L9(34)，设计实验方案并得到实验结果如表1所示，表中数字(1，2，3)表示水平，括号内为对应的因素水平值。
表1 实验方案设计与结果
2) 结果的极差分析
Rj为第j列因素的极差，其表达式为：
(6)
计算得到弹性齿轮应力与应变的极差如表2所示。
表2 弹性齿轮应力与应变极差分析
由表2可知，橡胶硬度对弹性齿轮应力影响极小，但对应变影响较大；橡胶厚度和宽度对弹性齿轮应力与应变均有影响，但影响程度有所不同。根据极差的大小可知，橡胶厚度对弹性齿轮的应力影响最大，橡胶宽度次之；橡胶硬度对弹性齿轮应变的影响最大，橡胶厚度次之，橡胶宽度最小。
3) 结果的方差分析
由于极差不能给出判断因素对结果影响是否显著的标准，因此对其进行方差分析，将结果进行偏差平方和分解，构造F统计量，生成方差统计表，利用P值法判断各因素对结果影响的显著性。P值是显著性概率，P值越小，表示该因素对结果的影响程度越大，当P值<0.05时认为该因素对结果有显著影响，各因素P值如表3所示。
表3 因素显著性分析
由表3可知，在应力方面，橡胶厚度的P值最小，且小于0.05，是影响应力的显著性因素，橡胶宽度的显著性次之，橡胶硬度P值为0.94，远大于0.05，是应力的非显著性因素；在应变方面，橡胶硬度、厚度和宽度的P值远远小于0.05，三者均为弹性齿轮应变的显著性影响因素。
3.3 橡胶参数水平优组合的确定
图8 橡胶硬度、厚度和宽度与指标关系趋势图
由图8可知，橡胶硬度增大，弹性齿轮应力几乎不变，橡胶应变减小；橡胶厚度增大，弹性齿轮应力减小，橡胶应变增大；橡胶宽度增大，弹性齿轮应力减小，橡胶应变减小。经验证，正交实验得到的结论与单因素分析的结论具有一致性趋势。
综合考虑以确定橡胶厚度：橡胶厚度过大，在齿轮啮合传动中容易引起较大的轴向振动和变形，厚度太小，生产加工困难，质量控制成本过高。从安全性和经济性方面综合考虑，选取橡胶厚度优水平为3.5mm，此时，优水平组合为橡胶硬度HS70，橡胶厚度为3.5mm，橡胶宽度为13mm。
在工程实际中HNBR硬度最高可达HS75，根据图8所示橡胶硬度对应力应变影响趋势，从减小橡胶应变考虑，橡胶硬度的优水平为HS75。经验证，该水平下的弹性齿轮应力为138.61MPa，应变为0.161 4mm，为最优标准。因此，橡胶参数的优组合为：橡胶硬度HS75，厚度为3.5mm，宽度为13mm。
4 结语
本文基于Pro/E建立了精确的弹性齿轮的参数化模型，对比了同工况下全金属齿轮和弹性齿轮应力与应变情况，基于正交实验设计方法分析了橡胶参数对齿轮应力与应变的影响，得出以下结论：1) 弹性齿轮能够有效降低齿轮接触应力，应力减小约24%；2) 橡胶硬度增大，弹性齿轮应力几乎不变，橡胶应变减小；橡胶厚度增大，弹性齿轮应力减小，橡胶应变增大；橡胶宽度增大，弹性齿轮应力减小，橡胶应变减小；3) 弹性齿轮橡胶参数的优组合：橡胶硬度HS75，橡胶厚度为3.5 mm，橡胶宽度为13 mm。
由于目前条件限制，未能进行弹性齿轮的实验验证，有待后续完善。此外，橡胶参数对齿轮传动系统动力学特性的影响有待进一步研究。
