浅谈函数的单调性在高中数学中的学习与应用

摘 要：函数是高中数学的重点学习内容之一。在解题时，运用函数单调性，能够在一定程度上起到提高解题效率的作用。因此，本文结合以往的学习经验，对函数单调性进行探究分析，简要介绍了高中数学中函数单调性的判断方法，并对函数单调性在解方程、数列、不等式等方面的应用进行了详细讨论。

关键词：高中数学；函数；单调性

一、 前言

函数单调性是对两个变量之间关系的刻画，可应用在很多题型当中。若能够充分掌握函数单调性及其应用特点，进而将其熟练地运用于相关解题过程中，能够在很大程度上提升自己的解题效率。

二、 高中数学中函数单调性的判断方法

掌握函数单调性的判断方法是学习与应用函数单调性的基础。

（一） 运用定义法

直接运用定义判断函数单调性的方法较简单，可遵循以下步骤：首先，在区间D当中任取两个值x1、x2，不妨设x1>x2；其次计算f（x1）-f（x2）的值，在具体计算时，有时需将f（x1）-f（x2）进行变形处理。在这一环节，常用的方法包括有理化、通分以及因式分解等；然后观察化简后的式子，确定f（x1）-f（x2）的符号；最后根据“同增异减”的原则，即可对函数的单调性进行分析。

（二） 运用等价定义法

运用等价定义法判断函数单调性，首先同样是从区间D当中取任两个值x1、x2；其次将两个函数值f（x1），f（x2）按照如下方式化简：f（x1）-f（x2）x1-x2；然后将化简后的式子与0比较。若f（x1）-f（x2）x1-x2>0，则说明函数f（x）在定义区间中单调递增；若f（x1）-f（x2）x1-x2<0，则说明函数f（x）在定义区间中单调递减。

相比于定义法，等价定义法不用考虑任意值x1、x2的大小，对于复杂的函数求解，具有更大的应用价值。

三、 高中数学中函数单调性的学习与应用

（一） 函数单调性在解方程中的应用

在解方程时，先构造一个单调函数，再运用函数单调性，能够帮助我们快速掌握解题的结构，进而获得问题的解决方法，求得所要的结果。

例1 已知方程x3+2x+（x+1）3+1=0，求方程的解。

分析：在实际解题过程中，运用函数单调性，应先将需要求解的方程进行转化，得到x3+x+[（x+1）3+（x+1）]=0；然后运用函数思想，构建一个函数f（x），f（x）=x3+x，这一函数在区间（-∞，+∞）内为单调递增函数，而f（-x）=-f（x）为奇函数；进一步对f（x）+f（x+1）=0求解，其中f（x+1）=-f（x）=f（-x）；根据函数f（x）的单调性，即可将求解方程转化成x+1=-x，解得x=-1/2。这种解方程方式，省去了大量的化简、计算环节，以最简单、快捷的方式，得出函数f（x）的单调区。

（二） 函数单调性在解数列中的应用

数列也是高中数学重点内容之一，并且难度不小。但若能结合数列自变量关系，充分利用好函数的单调性这一性质，则能够最大限度地简化解题过程。

例2 已知数列an=1n+1+1n+2+……+13n+1，其中n∈Nn；若让an>2b-5恒成立，求b的最大值（b为自然数）。

分析：由于an是以n为自变量的函数，运用函数单调性对数列进行求解。an>2b-5恒成立，也就说明2b-5一定小于数列|an|的最小值；如此一来，求解的问题就转化成了求数列|an|的最小值。

首先，应根据an=1n+1+1n+2+……+13n+1，得出：

an+1=1n+2+1n+3+……+13n+4，

然后用an+1-an并化简，能够得到

an+1-an=13n+2+13n+4+23n+3=23（n+4）（3n+2）（3n+4）。

由于23（n+4）（3n+2）（3n+4）>0，所以数列an+1>an，进一步即可判断数列|an|为递增数列，数列的最小值就为a1=13/12。在函数单调性的运用下，题目的求解转化成了不等式13/12>2b-5的求解过程，最终可以得到b应小于73/24；由于b为自然数，则最大值应为3。

数列|an|中的an是以n为自变量的函数，在各类数列问题当中，有关最值的题型都可运用函数单调性来进行解答。

（三） 函数单调性在解不等式中的应用

在学习高中数学的过程中，我曾尝试去记忆大量的计算公式，希望由此能够提高自己的解题效率。但实践经验证明，实际解题过程中，很难将记忆中的公式与题目进行快速准确匹配。这种方法不仅让我在解题过程中花费了大量的思考时间，而且由于知识结构的问题，还很容易导致解题过程中出现失误。而运用函数单调性来解答，能够更加快速准确地得到问题的答案。

例3 已知a、b、c∈R，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ac+1>0。

分析：在求证这一不等式的过程中，可先利用函数思维将不等式问题转化成函数问题，进而利用函数单调性，对问题进行求解。

首先进行函数的转化，令f（x）=（b+c）x+bc+1。

当x∈（-1，1）时，f（x）始终大于0；当b+c=0时，函数f（x）=1-b2>0；当b+c≠0时，在区间（-1，1）上，函数f（x）有单调性。

将x=1代入函数当中，能够得到f（1）=（b+1）（c+1）>0；进而可得：当x∈（-1，1）时，f（x）>0；根据已知条件，|a|<1，|b|<1，|c|<1；可完成a与x的替换，则有ab+bc+ac+1>0恒成立。

将不等式当中的一个常量作为变量，合理地设定函数的单调区间。这样就可以利用单调性来对不等式问题进行求解了。

四、 结束语

综上所述，探究函数的单调性，有利于我们掌握更多的解题技巧。在实际解题过程中，一些方程、数列、不等式的相应问题，都可利用函数单调性简化解题过程。但良好的学习与解题思路，却需要我们平时多多练习和训练，才能取得。

参考文献：

[1]周钰涵.高中数学基本函数学习策略研究[J].农家参谋，2017（16）：64.

[2]李建邦.函數的单调性单元教学设计[J].学周刊，2015（26）：46.

作者简介：

陈泳吉，湖南省郴州市，湖南省郴州市第一中学。