浅谈高中数学教师本体性知识之极限思想

张美芳

摘 要：数学的本体性知识，是指教师所具备的特定的学科知识，教师在教学的过程中，除了传递学科知识，更重要的是培养学生的思维能力与应用能力。极限思想是高中数学一种基本又重要的数学思想，在高中数学的教学中渗透极限思想，可以使一些数学问题避免复杂的运算，由难变易，对于培养学生的数学素养和意识有着积极的作用。

关键词：数学本体性知识；极限思想；高考解题；渗透

一、数学本体性知识和极限思想的概述

数学的本体性知识既包括显性的可言传的数学知识，也包括隐性的数学素养，数学思想方法及能力是两者的统一。极限思想是高中数学和大学数学的联系纽带，极限思想的学习和应用，对于学生学习数学知识，提高自身解决数学问题的能力，促进自身数学素质的综合发展有着极其重要的作用。

在高中的数学课本上，并没有对极限的概念明确给出定义，然而在教材的多处内容上却渗透和体现了极限思想，如“区间的无穷远”“二分法求方程的近似解”“函数导数的概念”等。极限思想是“使数学真正成为科学，使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科学，进步成为深奥严格的科学的思想，渗透于整个数学中，并总是在活跃着的思想”。

极限的思想，是指用极限的概念分析和解决问题的思想，是一种无限接近于精准答案的思想，它可以帮助人们在有限中认识无限，在近似中认识精确。在高中阶段，对于极限思想的学习主要集中在解题中的运用。下面通过一些例题的分析来提高对极限思想在解题中运用的理解。

二、极限思想在解题中的具体应用

【例1】（2011年山东高考理科数学第16题）

已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，a≠1），当2

解析：因为a>2，f（x）在（n，n+1）时单调递增。由题意可得，f（n）f（n+1）<0，则f（n）=logan+n-b<0，f（n+1）=loga（n+1）+n+1-b>0，当a→2，b→3时log2n+n-3≤0，当a→3，b→4时，log3（n+1）+（n+1）-4≥0，因为n∈N*，因此n=2。

单调函数在开区间求范围问题，把区间端点代入求值，是极限思想方法的应用。在上题中，我们将问题中的变量无限逼近某个具体的数值，这样使问题的隐含条件暴露，使问题容易进行分析判断。

【例2】（2015年高考全国卷Ⅰ卷理科16题）

在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 。

解析：如图，構造一个以∠B，∠C为底角的等腰三角形EBC，∠B=∠C=75°，过点C作CF=2，与EB交于点F，作AD∥CF，则∠A=75°，当A→E时，AB最长。在△EBC中，由正弦定理得，=，因此，AB=+；当A→F时，AB最短，此时=，得AB=-，所以，AB∈（-，+）

在上题的解法中，“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摒弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。

在高考中我们经常会碰到一些“无限性”特征的问题，有可能是变量取值的无限趋近，动点或者图形的无限趋近，也或者是参数的无限趋近，这些都可以采取极限思想进行解题，通过以上几个具体例子的展示，采用极限思想解题，避免了繁杂的运算，使抽象的条件更为具体，活化了思维，提高学生解决问题的能力。

三、中学数学教学如何培养学生的极限思维

极限思想从哲学的角度揭示了变与不变、近似与精确、有限与无限的对立统一规律。在高中数学的教学中渗透极限的思想，对于提升学生的思维层次和数学综合素养有着积极的作用。

1.极限思想在高中数学的内容中有很多的体现，但是作为高中教材的隐形课程资源，它不成体系，还有待进一步的挖掘。因此，教师在教学的过程中，要树立课程意识，把极限思想方法的教学融入备课环节，以教材内容为载体，依据学生的学情，挖掘教材中能够渗透极限思想的因素。

2.极限思想对于学生来说，是抽象和陌生的，因此教师要认真研读教材，精准定位极限思想的落脚点，使学生对于极限思想的模糊印象变为清晰。高中阶段学习极限思维，主要还是体现在解题的应用方面，学生可以通过习题课和复习教学，逐步提高利用极限思想分析和解决问题的能力，让学生体验极限思想在解题上的简捷性和优越性，感受极限思维在解题应用中的魅力所在，加深理解和印象。

参考文献：

[1][日]米山国藏.数学的精神思想和方法[M].毛正中，译.重庆：四川教育出版社，1986.

[2]林新建.思想立意，将数学解题臻于完美[M].长春：吉林大学出版社，2015.

注：本文为泉州市教育“领航团队”专项课题《分层教学下高中数学教师本体性知识的研究》成果之一，立项标准号：QLHKT-018。

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