关于剪切自锁现象在有限元分析中的探讨

(宁夏大学土木与水利工程学院 宁夏 银川 750000)

一、剪切自锁现象

以弯曲变形的梁作为分析对象，根据材料力学中平截面假定[1]，即梁在弯矩作用下发生纯弯曲变形时，变形前后平行于中截面的面仍然保持相互平行，且在变形前与中截面垂直的面在变形后仍然与中截面保持垂直。从梁中任取一微元体，其截面变形前后如图1所示。从图1中可以看出，在受到弯矩作用下，梁顶面受拉而伸长为水平拉应力，底面受压而缩短为水平压应力，在变形前后竖直方向各线段长度不变，即竖直方向就没有应变，也就没有应力；此外，水平线与竖直线在变形前后仍然垂直，也就没有剪切变形，剪应力为0，这解释了材料力学的平截面假定。其中需要注意一个重要现象是受拉压的上下边界在变形后是弯曲的。

图1 连续梁微元体弯曲变形

当用有限元对连续介质进行分析时，需要把连续介质离散为很多小单元和结点，当选取单元型式为线性单元时，每个边由两个结点构成，单元在变形前后边仍然保持为直线。以4结点四边形线单元为例，受纯弯荷载之后微元体截面变形如图2所示。从图2可以看出，变形之后水平线仍然保持平行，水平线上面受拉应力而拉伸，下面受压应力而压缩。由于变形之后边界仍然要保持直线，竖直线与水平线不再保持垂直，而是有了增大或减小，这说明产生了剪切变形，而这个剪应变是不应该出现的，由于这个剪切变形要消耗一定的变形能，这就会导致梁不能再发生弯曲或者弯曲变形要小了，产生的弯曲挠度也要减小。

图2 有限元分析中微元体弯曲变形

上述现象被称为剪切自锁现象[2]，简单地说就是在理论上没有剪切变形的单元中发生了剪切变形，该剪切变形也常称伴生剪切(parasitic shear)。发生的条件往往是受纯弯状态的一阶且全积分的梁、板、壳单元，导致产生剪切应变能过大而弯曲变形偏小，即剪切刚度太刚的虚假结果。

二、有限元分析

本题目首先是考察有限元分析中常见的剪切自锁现象，以理论值为参考探讨剪切自锁现象对分析结果的影响。其次是讨论采用缩减积分和非线性高次单元等措施对消减剪切自锁现象的效果。

(一)有限元模型

(1)单元选择。采用三维实体单元：8节点线性solid185六面体单元、20节点非线性solid186六面体单元。

(2)单元积分方式选取。采用完全积分和缩减积分两种积分方式，相应设置在单元关键选项中进行，具体操作见文献[3]。

(3)单元网格划分。采用5种划分方式，具体划分方式如下表1所示。以方案一的单元网格划分为例说明，如图3所示。

图3 方案一单元网格划分

划分方案X方向长度/份Y方向宽(厚度)/份Z方向宽度/份1301223022330524150525300105

(二)结果分析。

以方案一为例说明，采用Solid185单元的模型Y向(竖向)变形如下图4所示，采用Solid186单元的模型Y向(竖向)变形如下图5所示。各模型中梁自由端节点挠度值如下表2所示。

图4 模型变形

图5 模型变形

划分方案Solid185单元Solid186单元全积分缩减积分全积分缩减积分13.05411.323.0873.08722.194.1063.0883.08832.0773.2153.0883.08843.0683.2173.0883.08853.0833.1213.0893.089

三、结论

(1)采用solid185单元的模型，采用全积分的方式其挠度结果随着网格划分精度的提高，呈先减小后增大的趋势。这是由于前3种划分情况中，沿长度(30份)和宽度(2份)方向划分数目不变，沿厚度方向划分数目递增，单元形状逐渐呈长方体状，而划分后的单元长边与短边之比越大，单元越狭长，就越可能出现剪力自锁，从而导致挠度结果减小；在4、5两种划分情况下，单元形状呈正方体状，且网格划分数目递增，所以挠度结果增大且逐渐趋近于理论值。

(2)对比方案3结果可知，在选用solid185单元的模型中，采用缩减积分的方式计算得到的挠度值3.215mm比采用全积分计算得到的2.077mm更趋近于理论值3.09mm；但由方案1中结果可知，采用缩减积分的计算结果为411.32mm与理论结果相差甚远，这是由于当沿梁厚度方向只有一层单元时，采用缩减积分计算时出现了沙漏模式，即零能模式[2]，导致计算结果与实际结果有极大偏差。

(3)采用solid186单元的模型，不论是采用全积分或是缩减积分其挠度结果基本相等；在网格较粗糙的情况下，其挠度结果已非常接近理论值，且随着划分精度的提高其挠度结果逐渐趋近于理论结果3.09mm；与采用solid185单元的模型相比，在相同的划分情况下其精度更高。由此可见，采用高阶单元消除剪切自锁现象是一种高效的措施。