在观察与联想中进行整体建构——2017年天津市中考试卷第25题评析有感

刘家良

（天津市静海区沿庄镇中学）

观察是发现、分析和解决问题的思维端口，而联想是架起知识之间、问题之间纽带的一座桥梁，观察、联想两者之间相辅相成.整体建构是解答中考压轴题的策略之一，在整体建构中朝着目标方向去变形，灵活善变、异中求同，并从中提炼出思想方法，这就需要观察与联想的助力.细品2017年天津市中考试卷第25题，笔者深有感触.

一、试题解析

题目已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P(m,t) 为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P′.

①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值.

分析：此题是2017年中考天津卷的最后一道试题，其中第（2）小题②问是此题的压轴一问.第（1）小题用待定系数法求抛物线的解析式，由抛物线的顶点坐标公式求顶点坐标.此小题面向全体，考查二次函数的基础知识和基本技能；第（2）小题第①问需要综合多个知识点：关于原点对称的点的坐标规律，图象上的点的坐标与函数式的关系，解方程（组）.其中消去未知数t变二元为一元，是解m值的关键所在，需要学生具有观察、迁移和灵活的思维，此问检测了中等生对相关知识的综合运用能力；第②问具有较强的甄选功能：根据坐标的几何意义构造直角三角形，确立P′A2的函数式，是破解此题的第一道突破口，将P′A2函数式中含有的两个自变量m与t，设法变成含有一个自变量（m或t）的解析式是拦在众多学生面前的一道“坎”，要越过这道“坎”，就要依据m和t的关系，将m用含t的式子表示，或将t用含m的式子表示，这其间蕴藏的悉心观察、注重联系、善于变形、整体建构，是解m值的一条思维主线.

解：（1）将点A(-1,0) 代入y=x2+bx-3中，

得1-b-3=0.

解得b=-2.

所以y=x2-2x-3.

得顶点坐标为(1,-4).

（2）①因为点P′与点P(m,t关于原点对称，

所以点P′的坐标为P′(-m,-t).

因为点P，P′都在抛物线y=x2-2x-3上，

所以m2-2m-3=t，m2+2m-3=-t.

两式相加，得2m2-6=0.

② （方法1）由题意，知点P(m,t) 在第四象限内，

所以m＞0，t＜0.

由x2-2x-3=0，得

即抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).

因为点P(m,t) 为抛物线上的点，

所以0＜m＜3，m2-2m-3=t.

所以m2-2m=t+3.

由两点间的距离公式，得

所以P′A2=t2+t+4.

因为0＜m＜3，

（方法2）由题意，知点P(m,t) 在第四象限内，

所以m＞0，t＜0.

由x2-2x-3=0，得

即抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).

因为点P(m,t) 为抛物线上的点，

所以0＜m＜3，m2-2m-3=t.

P′A2=

因为0＜m＜3，

二、教学启示

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.将观察放在学习活动过程之首，可见观察在学习活动中的重要地位.

解题是对所求对象（数、式、图形等）的观察、联想、比较、思考和发现的系列过程，在寻找“蛛丝马迹”的线索中开启思维之门.主动观察、善于思考，表现在将条件（已知）和结论（未知）化为一体的综合性联动，将整体和局部联系在一起做出宏观分析和微观思考.例如，整体替换法、构造法、换元法等，使求解过程呈现出巧妙、灵活、简约的思维气息，从而达到锻炼学生思维灵活性和深刻性的目的.因此，教师要为学生创设一些通过观察而使解题过程变得简捷的题目，引导学生体验观察为解题带来的便捷，并由此认识到观察在数学学习活动中所占的重要地位.

案例1：已知a2-2b=2，求式子2a2-4b-3的值.

此题学生如果直接计算也可以得到所求结果，但是若仔细观察所求式子和已知之间的数量关系，就会化复杂为简单.

师：有思路的同学请举手.

师：赋值法能化抽象为具体，这种方法值得大家去学习.

生2：由a2-2b=2，得a2=2+2b，代入所求式子，得2(2+2b)-4b-3=1.

师：将所求式子变为只含有一个字母的式子，需要将已知式子中的一个字母用含另一个字母的式子表示.运算过程中恰好消去了b，得到所求结果.

师：生3类比生2的方法，得到了所求结果.善于借鉴别人的经验，值得大家学习.

生4：观察所求和已知，发现所求和已知之间有一种内在的联系，所求式子中的2a2-4b=2(a2-2b)=4,这样顺利得到结果为1.

师：大家分享的4种解法中，生4的解法最为简捷.大家能说说为什么吗？

生5：生4没有忙于计算，而是善于观察已知和所求式子之间的联系，把已知和所求式子进行挂钩，巧妙得出结果.

师：解题前需要观察.观察是我们学习、思考问题的一扇窗.

案例2：如图1，两圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，求由两圆组成的圆环面积.

图1

师：大家表达自己的想法和解法.

生1：求圆环面积，需知两圆的半径，而两圆的半径都是未知的.至此我就解不下去了.

生2：“见切线，连半径”，如图2，连接OC，OA，则OC⊥AB.再也没什么线索了.

师：图中有了大圆和小圆半径了，可列式试一试.

生3：πOA2-πOC2,还是没有头绪啊！

图2

生4：πOA2-πOC2=π(OA2-OC2).而这里的OA2-OC2=AC2,至此“案子”已破.

师：生4将大圆半径、小圆半径，还有弦长的一半通过勾股定理这个媒介融合在一起，巧妙地得出圆环的面积.彰显了观察与联想的魅力，体现了整体思想的魅力.

观察与联想是解题者展翅飞翔的羽翼，需要教师提供素材并慢慢的引导，逐步使学生认识到两者的魅力所在，逐步养成主动观察、善于联想的思考习惯，逐步使思维视线由局部向整体转移.