小网格 大舞台——以2018年天津市中考网格作图题的研究为例

宋 春，刘金英，赵国华

（天津市滨海新区塘沽第六中学；天津市中小学教育教学研究室；天津市滨海新区塘沽教育中心）

网格中的几何作图问题是近几年天津市中考探索的新题型，具有立意新颖、综合性强、思维含量高等特点，能有效的考查学生的数学核心素养.笔者以2018年天津市中考数学试卷第18题为例进行拓展研究，以期抛砖引玉.

一、试题呈现

题目如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,B,C均在格点上.

（1）∠ACB的度数为________；

（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点.以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′.当CP′最短时，试用无刻度的直尺，画出点P′,并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）.

此题体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对作图的要求，即在尺规作图中了解作图的道理，保留作图痕迹.同时，考查了学生利用网格，综合运用数学知识解决问题的能力，属于“综合与实践”的范畴.题目虽小，却蕴含着浓重的思维含量和进一步研究的价值，为后续教学中教师的教和学生的学，提供了极好的素材.

网格作图问题承载了学生的几何直观能力、发现与探究能力、逻辑推理与合情推理能力等，是中考命题的热点.例如，2018年北京、福建、海南、宁夏、四川广安、黑龙江齐齐哈尔，山东威海等地区的中考试卷中，均设置了相关问题.

为什么命题者对网格作图题如此青睐呢？笔者认为原因有以下五点：第一，有利于考查“图形与变换”的性质；第二，有利于考查图形与直观；第三，有利于考查学生“综合与实践”的能力；第四，有利于考查学生逆向思维能力；第五，有利于命题者打磨出精品试题.

二、试题研究

1.探源头，深挖教材找关联

人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册习题23.1第1题第（1）小题“任意画一个△ABC，作下列旋转：以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转40°”，此题是考查旋转的基本作图题，可以借助圆规和量角器完成，作用是巩固旋转的性质.习题23.1第4题“如图2，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形”，此题尝试在网格中作旋转，可以将△OAB逆时针旋转90°，找到点A，B的对应点A′，B′，再找到点C的对应点C′，就可以画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形（如图3）.此题用无刻度的直尺就可以完成，其依据是在网格中可以借助全等三角形构造等腰直角三角形.

图2

图3

从这两道简单的教材习题来看，旋转作图问题可以有效地帮助学生加深对相关问题的理解，这与2018年天津市中考试卷第18题的情境设计、问题本质、思考方法有很多相似的的地方.

2.探解法，变换角度寻路径

题目第（1）小题中，∠ACB=90°.第（2）小题的作法与分析如下.

作法1：如图4，取格点D,E,连接DE交AB于点T;取格点D′,E′,连接D′E′交CD于点K; 取格点M,N,连接MN交BC延长线于点G;取格点F,连接FG交TC延长线于点P′,则点P′即为所求.

图4

作法2：如图5，取格点D,E, 连接DE交AB于点T; 取格点D′,E′,连接D′E′, 取格点I, 连接TI交D′E′于点H;取格点M,N, 连接MN交BC的延长线于点G;取格点F,延长FG交AH的延长线于点C′;延长TC交C′F于点P′, 则点P′即为所求.

图5

解析：因为∠DAC=∠D′AC=45°, 再构造∠DAT=∠D′AH，即可构造出∠CAH=∠CAT.又由作法1可知∠F=∠B,AF=AB, 得到△C′AF≌△CAB.则∠AC′F=∠ACB=90°.由作法2可知AT=CT,则∠CAT=∠ACT.易得∠CAC′=∠ACT.从而有TC∥AC′. 所以CP′⊥C′F.

作法3：作法同作法2，利用解析式法求解，即在网格中建立平面直角坐标系，通过直线解析式确定特殊点的坐标，使问题方便求解.

解析：如图6，以A为原点，AD为x轴，AD′为y轴建立平面直角坐标系，

图6

可得直线AH的解析式为y=-7x.

由作法2可知FC′⊥AC′.

由CP′∥C′A, 则直线CP′的解析式为y=-7x+24.

作法4：如图7，取格点D,E, 连接DE交网格线于点K;取格点D′,E′,I,I′, 连接D′E′,II′交于点H; 取格点M,N,M′,N′, 连接MN,M′N′交于点G;取格点F,延长FG交AH的延长线于点C′;延长CK交FG于点P′，则点P′即为所求.

图7

解析：作法4中构造全等三角形的方法同方法2，即构造△C′AF≌△CAB.若要解决CP′⊥C′F的问题，由三角形全等可知∠AC′F=∠ACB=90°,为此利用同位角相等构造CP′∥AC′.

由作法4可知∠KDC=∠KCD=∠HAD′,得∠HAF=∠KCF.所以AH∥CK.所以CP′⊥C′F.

作法5：如图8，取格点D,E, 连接DE交网格线于点K;取格点D′,E′,I,I′, 连接D′E′,II′交于点H;取格点M,N,M′,N′, 连接MN,M′N′交于点G;取格点F,延长FG交AH的延长线于点C′;延长AC′交网格线于点F′;连接CK交FG于点P′，则点P′即为所求.

图8

解析：作法5中构造全等三角形的方法同方法2，即构造△C′AF≌△CAB.若要解决CP′⊥C′F的问题，由三角形全等可知∠AC′F=∠ACB=90°,为此借助成比例线段构造CP′∥AC′.

从上述作法不难发现，五种作法的共同点是构造全等三角形或相似三角形，关键是找到判定三角形全等的条件.作法2的思考路径较简捷，说明此题借助几何直观解决更方便些.作法4和作法5在构造两直线平行时，需考虑等角或对应线段成比例，方法巧妙，但不容易发现.这就是网格中存在的隐含条件，需要在网格中发现基本图形，如相似、全等、平行、垂直等.对于作法1和作法2，若能以数思形，借助图形进行直观分析，就可以迅速获得隐含条件，使问题形象、简明地得以解决.

三、进一步思考

1.网格作图题可以提供解决几何问题的多种途径

在网格背景下研究平面图形，一方面，能保留图形自身的几何特性；另一方面，网格自身的位置及数量的特殊性，使得图形中存在一些特殊关系，进而使图形的一般几何性质得以特殊化和数量化.网格作图给学生提供了多角度探究问题的方法，由于构图时可以选用网格中的特殊点，为学生拓展和创新搭建了平台，进而可以通过图形的旋转、平移、翻折、位似变换来构图，可以先画后证，还可以根据图形的特点及运算的需要，在网格中建立平面直角坐标系，用解析法确定点的位置、直线的位置关系等.

2.网格作图题可以考查学生的综合能力

此题的解决过程，从知识层面上，主要考查了勾股定理、成比例线段、相似三角形、全等三角形、直角三角形斜边上中线的性质、旋转作图等；从技能层面上，主要考查了学生的计算能力、作图能力和推理能力，其核心是构造全等三角形，作出平行和垂直；从基本思想方法来看，主要考查了数形结合、几何直观、化归思想、函数思想等.

3.网格作图题可以搭建培养学生创新思维的广阔舞台

此题属于“综合与实践”范畴，《标准》要求达到结合实际情境、经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.通过对有关问题的探讨，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.网格中的基本作图包括：构造相似三角形、全等三角形、平行、垂直、n等分线段，作轴对称、平移，等等，这为学生创造性地应用数学知识解决问题提供了条件.在网格作图题中，只有熟练掌握基本图形的基本性质，将图形的变换了然于胸，才能在运用的过程中实现知识与技能的升华.

网格作图给学生提供了多角度探究的空间，构图时可以选取网格中的特殊点，增加解题的灵活性和创造性.网格作图是以学生的经验为基础，在短时间内完成构图、分析、验证和精准的判断，根据学生的自身能力及特点，可以展现出不同水平、不同角度的问题解决的方式，这彰显了网格潜在的庞大功能，即依托小网格，铸就大舞台.