数学核心素养之运算能力在数学易错题中的体现和落实*

湖南省长沙市教育科学学院(410129) 唐亮

湖南省长沙市南雅中学(410129) 李波

湖南省长沙市明德天心中学(410129) 易山红

核心素养是个体在解决复杂的现实问题过程中表现出来的综合性能力,它关注的是后天教育的结果,它有别于一个人潜在的能力.根据一定的数学概念、法则和定理,由一些已知量通过计算得出确定结果的过程,称为运算.不仅会根据法则、公式等正确的进行运算,而且理解运算的算理,能根据题目条件寻求正确的运算途径,称为运算能力.运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力,而是运算技能与逻辑思维等的有机整合.换言之,运算能力不仅是一种数学的操作能力,更是一种数学的思维能力.

当代科学家波普尔说:“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”.因此,纠正错误,弄清楚错误之处,回忆解决问题的结果和过程,找出错误的根源,分析出错的原因,明确正确的解题思路和方法,这是培养学生思维的批判性和深刻性的重要途径.

深入分析某错题误解原因,如果是该错题所属的知识点没有掌握,则找出该知识点的所有习题;如果因为该题型的解题方法没掌握,则找出所有同类题型.错误重复现象的主要原因是在纠正错误后,没有及时地补救性强化训练.通过同类题的练习,以巩固新的“认知平衡”和“认知框架”,达到彻底纠正错误,减少错误重复的现象.对于屡次出错的问题可尝试让学生按以下要求整理.

我们针对学生在计算中出现的错误类型加以分析研究,并给出了相应的解题对策以及错题的相应变式题.具体错误类型可归纳如下:

1.概念模糊,缺乏抽象能力

没有准确掌握概念,或概念模糊,而导致解题错误.概念是思维的细胞,是学生思维活动的基础.要进行计算,首先必须要弄清概念,概念掌握得正确与牢固是减少计算错误的关键.但由于概念本身比较抽象、笼统,中下段学生不易掌握.部分学生数学抽象能力即抽象出数学本质特征的能力还有待加强.

例1下列运算中,正确的是( )

A.7mn-n=7mB.6a+4b=10ab

C.3a3+2a3=5a6D.a2b-ba2=0

错解:C.

错因分析在给出的选项中,7mn和n,6a和4b都不是同类项,所以不能合并;3a3和2a3是同类项,但是结果中的字母指数发生了变化,结果应为5a3;a2b和ba2都包含着字母a,b,且对应的指数也都相等,所以应选D.合并同类项的前提首先是几个单项式必须是同类项,其次是将同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数保持不变.若两项不是同类项,就不能进行合并,应保留原来形式.

正解:D.

变式题1下列式子中正确的是( )

A.5a+2b=7abB.7ab-7ba=0

C.4x2y-5xy2=-x2yD.3x2+5x3=8x5

对策:理解概念,掌握法则

掌握正确的概念和法则是正确计算的依据.(1)从具体到抽象,讲清概念、法则.学生只有知其所以然,才能杜绝此类错误的产生.(2)引导学生运用法则、性质进行计算.要引导学生应用法则进行计算.如在学解一元一次方程和分式的加减时,开始阶段,要让学生详尽地讲出思考和计算每一步过程的依据.经过一定时间的练习后,可要求学生计算时默想计算的每一步依据的法则或性质,边想边算.学生基本掌握法则或性质后,可简化中间的环节进行计算.

2.法则或公式不清

在教整式乘法公式时,我们常常会发现一些学生常把(a-b)2错做成=a2-b2,把完全平方公式与平方差公式混为一谈.常常是左边是完全平方公式的左边,而右边是平方差公式的右边,说明学生对这两个公式没有明确区别和掌握.因此法则或公式掌握得是否正确,直接影响计算的正确率.对数学的认识信念:对数学的本质、结构、价值的认识倾向.

例2计算

错因分析①学生没有理解完全平方公式的中间项“2ab”中2的意义,2y中的2表示首项的一部分,不是乘积的2倍.防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应,一定要找准哪个代表字母a,哪个代表字母b.②学生常把(a-b)2错做成=a2-b2,把完全平方公式与平方差公式混为一谈.常常是左边是完全平方公式的左边,而右边是平方差公式的右边,说明学生对这两个公式没有明确区别和掌握.

变式题2运用乘法公式计算:

对策:了解学生的知识缺陷和学习中的困难,巧施释疑排难.

平时数学教师要做一个有心人,不断收集学生的错题,然后在教学中,对特别要容易混淆的基本概念和运算法则、公式要努力教好,并在适当的教学阶段把两种容易混淆的概念、法则、公式加以对比教学,使学生区别清楚,但不要一开始就比较,应该等学生对两种概念、公式都有了一定的理解后,再加以对比.

3.旧知缺乏,知识迁移能力欠缺

旧知识的积累储存,不仅仅是为了满足储存信息,更重要的是能从这储存中及时准确地提取信息.在代数计算中,经常需要旧知识的运用(如整、小数的四则运算;分数的四则运算;解方程的步骤依据;分数、分式的通分、约分;分小数的互化等)如果学生对旧知识储存的错误或缺乏旧知,就不能正确地提取储存的信息,造成计算出现差错.部分学生的合情推理能力即类比、归纳、直觉推理的能力有待提高.

例3解不等式:

错解:去分母,得:6x-(2x-5)＞7,去括号,得:6x-2x+5＞7,移项,得:6x-2x＞7-5,合并同类项,得:4x＞2,系数化为1,得:

错解分析去分母是解不等式时的常用步骤,其实质就是通分的过程,注意每一项都要乘最小公倍数,上面的解法中常数项忘记乘最小公倍数导致出错.

正解:去分母,得:6x-(2x-5)＞14,去括号,得:6x-2x+5＞14,移项,得:6x-2x＞14-5,合并同类项,得:4x＞9,系数化为1,得:

变式题3

对策:利用学生错误,及时反馈订正.

“错误乃真理之母”,学生从错误中顿悟比教师直接授以正确的解法印象深刻.数学教师要做好“用错引正”的工作,我采取的方法有:难点纠错,正误对比等.上课时,有心让解题错误的学生上黑板板书,再让下面的同学踊跃上来用红色粉笔帮忙找错、改错,做到不仅仅让做错的学生知道错在哪,还让其他学生引起足够的重视.

4.“注意分配”和“无意错误”产生的误区

学生在计算时,往往只感知符号本身而很少考虑事物间的联系,因此对那些相近或相似的符号、数据因感知失真而发生错误,这些错误是指学生由于粗心大意,在不知不觉中产生的如看错题目、写错数字、脱漏符号、把减法看成加法等错误.数学中的严谨的思维品格即用数学的严谨态度思考和处理问题的能力急需加强.

例4计算:

错因分析解题时,特别是计算题,符号问题是典型错误,本题也不例外,本题的符号错误主要是(-1)n与-1n的情况,两个幂底数不同,(-1)n底数是-1,结果与n的奇偶性有关,-1n的底数是1,结果与n无关.

变式题4计算

对策:扎扎实实抓好计算基本功,对防止计算错误有很大的作用.

我们老师可以在备课时精心准备几个容易错的计算题,在每节课的前5分钟来个“数学操”;对于一些学困生,每天再可以准备1-2题来随时考查、反馈,及时巩固已学知识,做到“堂堂清、天天清、周周清”.这是一个长期的过程,要持之以恒.

5.强成分因数的影响

在四则混合运算中,教师较注意简便运算的教学,因此学生往往受题目某些数据特点和某些符号等强成分因数的影响,产生心理错误,从而引起计算错误.如:学生受强成分因素的影响,想当然:通过约分,计算结果为1.

例5计算

错因分析整式与分式进行加减运算时,将整式看作分母为1的分数形式进行计算.上述错解由于弄错减去的整式是谁而导致错误.

6.固定思维的影响

例6求不等式的非负整数解.

错解:去分母,得3x+4-6≤14,移项,得3x≤14-4+6,合并同类项,得3x≤16,系数化为1,得

错因分析本题的错误主要是审题不清,导致未看到求非负整数解,直接求出不等式的解就结束了.还有部分错误是由于不理解非负整数的含义导致的.

正解:去分母,得3x+4-6≤14,移项,得3x≤14-4+6,合并同类项,得3x≤16,系数化为1,得所以,不等式的非负整数解为 0、1、2、3、4、5.

对策认真批改作业是防止和纠正错误的重要一环.作业不仅是学生巩固知识,提高能力的有效途径,也被看成是课堂教学的一种延续.这样一来,它可以看作是师生交流互动的又一方式.而课改强调对学生作业的批改不再只是简单的甄别,更应该突出作业批改的发展性功能.所以要求在给学生等第的同时给予有鼓励、有意见的评语,让学生体会关怀.使其认识自我,促进在原有水平上的提高.有时可根据错误情况,在错题旁写上带有启发性的提示:例如:“想想看,错在哪里?”“先复习课本第*页,再把错误订正”、“先订正错误,再算下面几题(根据错题再编题目)”等等.

7.学习习惯不良

良好的学习习惯是学生掌握知识、运用知识的重要保证.在计算时,学生都希望很快地算出结果.因此,当遇到计算题目中数据较大,较为陌生,算式的外形显得过繁时,就会产生排斥心理,不能耐心审题,凭经验思维草率完成,错误率必定会升高.

对策:培养学生良好的学习习惯

分析一下学生计算中的错误,就会发现,不论学习成绩较好的还是学习成绩较差的学生,大量的错误是由于不良学习习惯造成的,因此,具有良好的学习习惯是提高计算能力的保证.

(1)规范书写

要严格规范书写要求,如数字和符号的书写要正确、工整、清楚,行尾的数不要拆成两瓣.甚至计算的草稿也要顺次写清楚,以便查核.

(2)认真审题

(3)及时检查

每算一步时回过头自觉地检查一下,看计算方法是否正确.计算好结果后看有没有检验正确与否的方法.老师要做到教会学生每一个计算题的检验方法.

(4)有效订正

计算错误是在所难免的,当发现错误时,通常的方法是让学生订正(即再做一遍),有的学生甚至向其他同学照抄一遍.这样的订正即不能让学生了解错误的地方及原因,也不能杜绝此类错误的再发生.因此,订正时要让学生做到“一圈、二找、三订正”,“一圈”就是把错误的地方圈出来,“二找”就是找出错误的原因,“三订正”就是订正做错的题目.这样才能使学生清晰地了解错误之处及原因,尽量避免错误的再次发生,使订正具有实效.

从以上学生发生错误的原因分析中,我们可看到一些规律性的东西,了解这些规律的东西,对教师钻研教材、备课有帮助,我们在备课时,要抓住主要矛盾,重点讲解,预先采取教学措施以防止和纠正学生发生这些错误,这里有两个问题:一个是防止错误的发生,一个是错误发生了怎样去纠正它,这两者是互相联系的,两者相比,要“防”重于“治”.

由上述可知:教师若能经常引导学生对做过的习题进行反思、对比、归纳、提炼,学生的解题能力必将会提高.在平时的教学中我们可通过以下方面培养学生的反思品质.思规律:数学活动后,引导学生反思,归纳和揭示活动中隐含的数学规律.思体系:新知识形成后,引导学生比较新旧知识的联系和区别,建立新的认知结构.使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化,知识体系系统化.思因果:例题教学后,引导学生思考在解题过程中用了哪些知识点,前后知识如何贯通,归纳其中用到的知识、解决问题的思路和方法、解题的基本步骤和书写建议,形成正确的解题策略.思变通:巩固练习后,对典型习题要适当变化、引申、拓展,以拓宽思路,扩大做习题的收获.思多解:对用多种方法解决的问题,教师要引导学生分析比较各种方法的优势和特点,总结解题方法,揭示解法的本质、寻求最佳解法,使学生的发散思维得以收敛,张扬的个性得以升华.提倡解题以后的数学思想方法的反思.养成反思习惯,特别从数学思想上进行提炼和反思,这对提高数学能力有帮助.通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动,让学生的思维在解题后继续飞翔.错误是极佳的学习契机,教师既要引导学生发现解题过程中的错误,让学生提出不同解法并进行比较,又要指出这种

错误解题过程中的合理成分,使产生这种错误的学生在实事求是的激励性下接受帮助.让学生主动参与找错、议错、评错、赏错,对学生来讲是一种可贵的成功体验.有时课堂上的一些错误反而会给课堂注入新的生命力.学生产生的错误是宝贵的教学资源,只有善待学生的错误,给学生说理的机会,才能充分挖掘错误的根源,引领学生走向成功.这种教育的效果远远胜于直接告诉学生一个正确的结论.