图形计算器在高一函数教学中的应用

广东省广州市从化区第二中学(510900) 杜东仪

函数是高中数学教学的第一个内容,也是初、高中数学学习的一个重点和难点,并且高中数学的绝大多数内容都与函数有着紧密的联系,学好函数是学好高中数学的基础.但由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质,初中教材在各个内容上均进行了不同幅度的调整,难度、深度和广度都有所降低;而高中数学的开始便是函数,其概念抽象、定义严谨、逻辑性强,知识难度大,且习题类型多,解题技巧灵活多变,与初中的要求存在明显的差距.导致大部分学生在做函数题目时都感觉到有压力,觉得无从下手,受到不小的打击,从此失去了学习数学的信心.

如何帮助高一的学生更快地适应高中的数学学习,现代信息技术起到非常大的作用.图形计算器的数据处理、函数、绘图和简单编程等功能非常强大,利用它可以呈现一些较抽象的问题,让学生更加直观地去感知新知识,这有利于学生认识数学的本质,激发学习数学的热情,提高数学素养.另外,它的交互性特点,可以帮助老师在函数教学中实时反馈和展示学生的操作与理解情况.

下面结合自身教学实践,谈一下图形计算器在高一数学函数教学中的一些应用.

一、让学生直观感知基本初等函数的性质

在我们研究函数的性质时,对于一些不必要严格证明的结论,我们可以采取直观感知的方式,而图形计算器快捷、准确的画图功能为我们的直观感知提供了保障.

案例一指数函数y=ax的底数a对函数变化速度的影响.

在指数函数,对数函数,幂函数的底数对函数变化速度的影响这三个内容中,我们的教学重点均为研究结论的记忆和运用.而结论的推导只作了解要求,我们沒有必要花费大量时间进行严格证明,因此在教学中我们可以选取几个特殊的函数利用图形计算器的绘图功能进行直观感知并得出结论.下面以指数函数为例,将分析过程分为a＞1和0＜a＜1两部分:

(一)选取三个底数大于1的指数函数(y=2x,y=3x,y=4x)在同一个直角坐标系中绘制它们的函数图象(图1.1)

引导学生思考与总结:

(1)指数函数的图象恒过点(0,1);(2)在点(0,1)前后交错变化;(3)当底数a＞1时,底数越大,指数函数y=ax的上升速度就越快.

引导学生思考与总结:当底数0＜a＜1时,底数越小,指数函数的下降速度就越快.

图1.1

图1.2

案例二反函数的图象特点

我们在研究反函数时,以“同底的指数函数和对数函数”为例.

(一)建立一个直角坐标系,并画出直线y=x的图象.

(二)让学生绘制并观察y=2x和y=log2x的图象.(如图1.3)

(三)让学生绘制并观察y=3x和y=log3x的图象.(如图1.4)

(四)让学生绘制并观察y=4x和y=log4x的图象.(如图1.5)

图1.3

图1.4

图1.5

(五)归纳总结:引导学生总结“当变量a取不同的数值时,函数y=ax和y=logax的图象关于直线y=x对称”.

(六)类比推理:绘制多个互为反函数的图象,引导学生类比推理出结论“互为反函数的图象关于直线y=x对称”.

二、研究较复杂的函数的图像和性质

对于学生来说,一些函数图象往往不太容易直接画图,或者所画出的图象在一些细微的差别上无法辨析出来.即使在课堂上,教师明确点出,但学生往往在心里存疑.实际上最主要的原因是教师没有拿出有力的证据说服学生,因此数学思维难以得到很好的渗透.现代化信息技术在人们的心目中有着公平公正、严谨、准确的印象,它恰恰能够弥补这一点.图形计算器所画出来的图象能够将一些细微的差别展示出来,而且在学生的心中有很强的说服力,对于一些较复杂的函数我们可以利用图形计算器快捷、准确地画出.

案例三求函数f(x)=x2-2x的零点个数.

(一)大部分学生的解题过程非常相似,出错的主要原因均是“在第二个交点的右边,指数函数y=2x没有再超越二次函数y=x2形成第三个交点.

(二)传统的讲解过程,老师一般都是直接指出指数函数y=2x在后面的变化速度比二次函数y=x2快,所以会形成第三个交点.我也曾经在课堂中用过这种方法进行解释,但很多学生仍然不太明白,主要是不太理解变化速度的问题.

(三)如果我们利用图形计算器画出两个函数的图象(如图1.6).

图1.6

从上图我们可以看到两个函数的交点有3个,但是因为两个图象在第二、三个交点之间的部分并不清晰,因此我们可以引导学生进行进一步的探究,通过求值比较的方法让学生进一步感知函数图象的变化情况.首先,我们在第二、三个交点间取一个数,比如3,代入f(x)=x2-2x求得f(3)=1＞0;然后,再在第三个交点右边取一个数,比如5,代入f(x)=x2-2x求得f(5)=-7＜0;最后,由于f(3)·f(5)＜0,可以确定(3,5)内一定有零点.通过这一系列的分析、探究,可以让学生更好掌握指数函数的变化速率问题.

三、建立数学模型,解决实际问题

在中学开展数学建模活动,可以激发学生的学习动机和兴趣;可以培养学生的直觉思维能力和发散思维能力.培养学生运用数学建模解决实际问题的能力,关键是把实际问题抽象为数学问题.因此必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型,再把数学模型纳入某知识系统去处理.

数学建模过程中,对于统计数据的汇总、计算、绘图等如果不利用现代信息技术,那么对于学生来说是一个非常艰巨的工程.图形计算器的应用恰恰帮我们解决了这一问题,使学生能够方便、快捷地建立函数模型,将学生的精力集中在如何利用数学方法解决生活问题.这样就能最大限度地培养他们的数学能力,使他们获得成功的喜悦,进一步建立学好数学的信心.

案例四必修一第三章《函数的应用》P105例6

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3-10.

表3-10

(1)根据表3-10提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?

实施步骤:

(一)运用图形计算器做出散点图:

图2

(二)拟合猜想:

课本中说到,“根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型”,但是有时散点图并不能很清晰地看出函数模型,这个时候就可以发挥图形计算器的强大功能,绘制不同的模型,然后初步观察它的拟合程度,并根据不同需要选择不同的函数类型进行猜想并拟合.比如:这里我们选择了三个函数模型,进行分析研究:

(1)二次型函数模型:y=ax2+bx+c.

(2)指数型函数模型:y=a·bx.

(3)一次型函数模型:y=kx+b.

(三)画出三个图象,观察拟合情况,确定函数模型.

图3

图4

图5

从上面三个函数模型的拟合情况来看,指数型函数模型(y=a·bx)的拟合程度是最好的,因此老师就可以更好地向学生讲述什么是“根据点的分布特征”来选择函数模型.

但是有时候单纯从函数图像,我们并不能发现哪一个函数与实际数据的拟合程度更好,或者说只是一个初步的判断,如果我们要得到更加准确的曲线,后面可以借助选修2-3《统计案例》中学到的拟合函数的函数值与实际数据的误差平方和来衡量不同拟合函数的优劣.

利用图形计算器的计算和绘图功能,不但可以让学生了解数学建模的一般方法和步骤,还能够简化数学建模的过程,减低建模的难度.指引学生去寻找解决问题的多种不同方法,让他们形成做数学,玩数学的学习习惯,这样才能更大限度的发挥出图形计算器强大的功能.

图形计算器对于发展学生的思维有很大的帮助,主要有:(1)简化计算过程,降低计算难度;(2)能够充分暴露教师的思维过程;(3)使抽象问题具体化、静态化;(4)在学生的空间想象能力未达到一定水平之前,可使图形直观化;(5)可以培养学生的直觉思维;(6)使学生的数形结合能力得到培养.

高中的函数教学贯穿整个高中数学的始终,深入理解、掌握函数,为后面的学习打下坚实的基础是非常重要的.图形计算器的特点决定了它对函数的教与学有着非常重大的帮助,它可以很好地呈现函数知识的形成过程及展示其内涵,帮助学生加深对函数知识的理解,培养学生数形结合的能力,领悟数学的本质.从而使函数知识的重点、难点得到很好的突破,有利于学生用函数知识解决实际应用问题,逐步培养科学研究的态度和意识.

总之,图形计算器在函数数学教学中的应用改变了我们传统的数学教育思想与教学模式,图形计算器作为认知工具无疑将是信息时代占主导地位的数学课程学习方式,必将成为学校数学教育的主要方法之一.因此,在当前我国积极推进教育现代化、信息化的大背景下,倡导和探索图形计算器和数学课程的结合,将复杂抽象的数学概念变得形象生动,提高了学生数学的兴趣,对于发展学生的信息素养,培养学生的创新精神和实践能力有着十分重要的现实意义.