基于ACT-R理论指导的数学问题解决

四川省四川师范大学数学与软件科学学院(610011) 甘良燕 邵利

1 引言

2010年国务院颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》中强调“面向全体学生,促进学生全面发展,着力提高学生用于探索的创新精神和善于解决问题的实践能力”.[1]因此,以问题为中心、建构认知结构培养学生问题解决能力,被越来越多的研究者关注.但是通过相关文献的阅读,发现近年来问题解决模式研究倾向于情境认知理论,而忽视了问题解决的首要前提是学生对知识的内化和掌握.[2]而ACT-R理论是对知识内化机制的具体说明,陈述性知识经过程序化过程后,构成稳定的产生式,最终形成程序性知识.问题的解决需要数学的“概念性知识”与“方法性知识”.这与ACT-R理论中的“陈述性知识”和“程序性知识”有很多的相通之处,这就为用ACT-R理论指导数学问题的解决提供了理论和方法依据.并且ACT-R理论还强调能力的练习,从而促进学习,增强问题解决能力.

2 理论基础

ACT-R理论被称为“学习和认知的简单理论”,该理论利用三个简单的二分法来说明人类的学习.“两类知识”–陈述性知识与程序性知识,是学习与问题解决的基础,即个体已有的认知结构.“两个假设”–操作假设与学习假设,是学习与解决问题的过程中两类知识的获得与迁移.“两个水平”—符号水平与亚符号水平,是用于学习与问题解决的效率描述.这就为用ACT-R理论指导数学问题的解决提供了理论和方法依据.

2.1 陈述性知识与数学问题解决

在解决数学应用题时所涉及的陈述性知识包括词义知识、事实性知识和图式知识.其中词义知识和事实性知识有助于对问题的表面加工,而图式知识则有助于对问题的深层次的加工.[3]

要解决一个数学问题,首先就是理解问题包括的词义知识,事实性知识和图示知识,然后对要解决的问题进行表征.(所谓表征,就是指信息在头脑中的呈现形式.)美国认知心理学家西蒙(H.A.Simon)认为,“问题表征是问题解决的一个中心环节,它说明了问题在头脑中是如何呈现、如何表现出来的”.[4]既是在数学解题中,就是要理解并转化问题,对一个数学问题,要用自己的语言将它陈述出来,并通过对问题的陈述将问题进行适当的转化.要想解决一个数学问题,就必须正确地恰当地表征问题.所以理解问题涉及的陈述性知识,是重新表征问题的关键.

2.2 程序性知识与数学问题解决

新问题解决的过程往往是通过图式和规则的交替进行来共同促进问题的解决的.图式与图式的规则相对独立,但是规则的执行不可能独立于图式之外而被激活.程序性知识中一个产生式规则就是一个“条件-反应”的单元,及针对特定的问题解决条件采取特定的认知操作.[5]在问题解决中,每个任务都可以分解为一系列的子目标,而这些子目标又会被进一步分解为一系列的子目标.但在每个时间点上,只有最新加入的子目标才用于产生式的选择,一旦成功,则将这个子目标从目标结构中清除.[5]可见目标层级在问题解决中起着主导的作用.而这个目标层级的过程正是问题解决的过程,把问题分解为需要解决的一步一步的小问题.解决一个问题之后调整原来的问题,进行新问题的分析找出当前需要解决的第一个问题,重复这样的操作,直到所有问题成功解决.

3 ACT-R理论指导下的数学问题解决

问题解决可以认为是寻找问题的有效解决方案或寻找可能结果的过程,在这个过程中个人会针对问题情景选择适当的先前知识和经验,为完成该目标不断寻找可能的解决路径,并对相关的信息进行重组以及发展出可行的方法.在ACT-R理论下首先需要对问题涉及的陈述性知识进行理解,然后根据陈述性知识中的词义知识、事实性知识进行理解,直到能够自己表征问题,从而进行问题解决.在问题解决的过程中根据程序性知识和目标层级的要求,梳理问题解决的过程直到问题解决.下面本文将结合一道竞赛题来说明数学问题解决的过程.

3.1 例题呈现

例(x+y+z)100的展开式中项数共有____项.

呈现的例题是求三项式展开项的项数,但对学生而言只学了二项式的展开.因此就学生目前掌握的知识,想解决这个问题是有困难的甚至没办法解决.但是分析这道题涉及的陈述性知识“展开式”,“项数”就会联想到二项式展开中有关展开式和项数的陈述性知识从而促进对问题的理解.根据陈述性知识找到解题的程序性知识,再由程序性知识分析解决问题的过程.

例题分析式子展开式中,各单项式可以统一表示为含x、y、z的单向式,且展开式中各未知元的次数之和为确定的数100,即可用x,y,z表示出展开式中的通项式为xmynzt,m、n、t∈N∗.

解法1(x+y+z)100展开式的通项为xmynzt,m、n、t∈N∗且m+n+t=100.由数学归纳法有

(1)令t=0,则m+n=100;

(2)令t=1,则m+n=99;

···

(101)令t=100,则m+n=0.

当指数t=100时,m=n=0,此时xmynzt只有1种可能,故只含1项.当指数t=99时,m=1、n=0或者m=0、n=1,此时xmynzt有 2种可能,故含 2项.···当指数t=2时,m+n=98,此时xmynzt有99种可能,故含99项.当指数t=1时,m+n=99,此时xmynzt有100种可能,故含100项.当指数t=0时,m+n=100,此时xmynzt有101种可能,故含101项.

综上,展开式中项数共有1+2+3+···+99+100+101=项.

此种解法利用二项式展开项中有关的陈述性知识对问题进行理解,展开式中各项的表示形式是一样的,根据通项的特点用数学归纳法从m=n=0到m+n=100递推,得到m,n的关系,逐渐分析题目.有多个未知数时,采用了固定未知数的手法,从而减少未知数个数来简化解答过程,解出答案.分析解题的思路,从原有认知结构中找到与本题有关联的知识点二项式展开式从一个容易着手的和更普遍的问题开始,根据二项式的陈述性知识利用类比的方法转化到三项式的展开,找到问题解决的计划.从令t=0入手,由特殊到一般的归纳过程,整个过程二项式与三项式联系紧密,条理清晰.

解法2对m+n+t=100这个式子放在立体几何中,则表示一个边长为的等边三角形平面,且m,n,t为0≤m,n,t≤100的正整数,如图1.如图△OBC为腰长为100的等腰三角形,因为m,n,t是限制在0到100的正整数所以要使三边为整数时应有101个如图2,抽象出等腰三角形,要使三边为正整数,BC边应有101个如图△OBC为腰长为100的等腰三角形,因为m,n,t是限制在0到100的正整数所以要使三边为整数时应有101个如图2抽象出等腰三角形,要使三边为正整数,BC边应有101个

图1

图2

此种解法,从几何这个角度采用数形结合的方法转化思考的过程,使思考过程更直观明了也扩展了学生的解题思维.从而简化解题过程,再由归纳法得出最终结果.分析题目中的几何结构,运用几何手段研究代数问题,理清分析过程中思路,简化解题过程,加快解题速度,有利于学生数学思维能力的培养.但是思考的过程是个难点,一般的学生不容易想到联系几何方面的方法来解题,其次抽象出等腰三角形是在此题解题过程中一个巧妙的手法,看起来直观但往往是学生解题过程中常出现卡顿的地方.

3.2 ACT-R理论下的问题解决分析

分析问题的解决过程,把问题解决的过程与ACT-R理论联系起来,回顾二项式中的“展开式”,“项数”等知识点则是把之前学过的陈述性知识与问题解决联系起来,形成解题的知识基础.由二项式解决过程的程序性知识来找到三项式的解决过程.所以整个问题解决的过程蕴含着ACT-R理论.

波利亚的解题表中提出的解决问题的四个步骤,第一是“弄清问题”则是理解问题描述的陈述性知识的含义.梳理出陈述性知识中的未知数、已知数、条件.第二步是“拟定计划”找出各数据之间的关系,得出一个解决问题的计划既是解决问题的程序性知识.如果不能解决所提的问题,可以先解决一个有关的问题,或者想出一个容易着手的和更普遍的问题,总之要有一个解决问题的计划.第三步骤是“实现计划”这一个步骤则是要达到ACT-R理论中的“目标层级”.实施计划,把每个任务都分解为以系列的子目标,每步解决一个目标.问题解决后删除最新的目标进行到下一个目标,直到所有的目标都被解决,则任务也就完成,计划实施完成,问题得到解决.第四步是“检验结果”这是一个求证的过程,检验和反思问题解决的过程,保证结果和方法的正确性.

4.结论

乔纳森等人认为,问题解决者应该拥有三个方面的知识:陈述性知识,结构性知识,和程序性知识.其中,陈述性知识是指一些有关对象、事件和思想的知识,他们能够帮助问题解决者去搜索和确定解题所需的信息;结构性知识是关于如何组织信息的知识,为问题解决过程中知识的运用提供概念基础;程序知识则是关于如何做的知识,帮助解题者形成计划,实施解题过程.

所以数学问题的解决是运用陈述性知识和程序性知识的过程,利用ACT-R理论对数学问题解决过程进行指导,可以明确解题步骤,实施解题计划.使整个解题过程思路清晰,从而使问题得到解决.