探索数学模型在金融中的具体应用

吴春雪

（贵州财经大学数学与统计学院，贵阳 550025）

引言

数学是非常严谨具有很轻的逻辑性的一门学科，各个行业分析预测一些事物都离不开这一大有力工具，金融市场的分析研究也不例外。在金融领域中，所研究的对象之间的关系必然存在着一些数学上的联系，可以先对所研究对象抽象成数学的形式，这样数学模型就做好了。金融市场的交易者需要利用数学模型进行分析预测，这样才能更好地掌握食物的发展方向或者是进行利润收益的一个具象化计算。

一、数学理论模型的发展及金融市场的发展概况

众所周知，金融数学是一门边缘性的学科，金融市场的运作是极其复杂的，这就需要运用很多金融数学理论知识，并且还要把一些数学研究方法运用其中，这样才能有效地解决金融市场中的诸多问题，比如定价问题、利润问题等。数学模型具体运用到金融领域最早是在1900年，当时Louis Bachelier（路易·巴舍利耶）提出了一个投机理论，这个理论把概率论直接运用于证券价格的分析，引起了不小的轰动，路易·巴舍利耶被誉为现代量化金融的奠基者。在1959年Markowitz（马科维茨）提出了期望方差模型，此模型是当时现代金融理论研究时期中最有影响力的模型概念。这一模型概念一经提出，很多的数学家和金融经济学家都开始了对期望方差模型在金融市场的应用的这一领域的具体研究工作，在此过程中此模型概念逐步得到了完善，并且产生了许多新的证券组合选择模型。1973年，Black与Scholes提出“基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分方程”这一理论概念，这一理论被誉为金融市场研究中的革命性成果。国际经济不断发展，金融市场体系在逐渐得到完善，数学模型在金融市场研究中的巨大作用不可小觑，数学模型在金融领域中的运用已然成为研究金融市场的关键性的技术。

二、数学模型在金融中的具体应用

（一）基础模型

1.单利与复利。大家都知道，我们存款会在一定时间内获得一定的利息，贷款会缴纳一部分利息。而利率是利息与本金的比值。当存款的利率高时，会吸引存款者进行存款。但在这种情况下，银行就会出现负债过高的现象，此时，银行会通过一些手段进行获利，比如提高贷款的利率。但是，这样又会使想要贷款的企业望而却步，所以银行的利率过高会阻碍金融经济的发展。单利和复利是银行计算利息的方式。利息的计算只与本金有关的叫作单利，如果设本金为m，年利率是s，n年后本金和利息的总计A就是m（1+ns），这就是所说的单利模型。复利模型与本金和利息都有关系，因为利息在一定时间内还会产生利息。

2.现值理论。所谓现值理论，就是指资金现在的价值，最终价值和折现情况。如果m代表本金，银行的存款利率是s，n年之后本金和利息的总计为最终价值，记为Q。通过复利公式 Q=m（1+s）n，我们可以知道本金 m 就等于终值与（1+s）n的比值。1/（1+r）n就是折现系数。现在生活中，很多商家都会利用银行按揭搞一些促销活动，这种活动都是把客户的信誉作为一个担保，客户可以选择按揭的期限和方式。

（二）证券投资组合模型

1.期望方差模型。期望方差模型是用来减小投资风险的有效数学模型。投资者会拿出一笔钱用来投资不同的证券，这样可以有效地使风险分散，这无形中就降低了投资的风险。若我们把预期收益率作为一个坐标系的纵坐标，把预期的风险值作为坐标系的横坐标，那么每一个符合要求的证券的投资组合就固定的代表这个坐标系上的一个点，所有的符合要求的证券投资组合就可以成为一个集合。

2.其他证券组合选择模型。几何期望收益模型、保险首要模型、随机优势模型、最优后悔比率模型等也是金融领域很常见的数学模型，发挥了巨大的作用。

（三）资产定价模型

1.资本资产定价模型。资本资产定价模型简称为CAMP模型，此模型大多用于分析平衡态市场下的怎样处理资产风险和收益以及风险关系的具体问题。如果市场处于平衡状态，其中的大多数较为理性的资产持有者会选择投资不同的证券。Sharpe和Lintner是曾经荣获了诺贝尔经济学奖的，他们提出了一条非常严谨的假设，推导出了下面的资本资产定价模型：

2.套利定价模型。套利定价模型简称为ATP模型，其反映的金融领域的理论与CPAM模型不同。我们都知道，在金融市场中，如果两个一模一样的商品以不同的价格对外售卖，那么价格低的肯定先会先卖出去。这个ATP模型就是说，当两个一样的商品以不同的价格售卖，那么肯定会出现套利机会。这个理论只是阐述了市场在平衡态时资产定价的结构情况，具有一定的局限性，后来的很多研究者针对这一理论提出了很多完善的概念并且广泛运用。

结语

金融市场是个非常复杂的领域，里面存在着很多值得研究的问题。然而，世界在不断进步，金融市场体系在逐步地进行完善，我国要想提高金融市场核心竞争力，掌握金融市场操作的关键技术，就必须加强研究数学模型在金融市场中的具体应用，创新引领时代的金融行业发展，探索出更多新的数学模型运用到金融领域之中，这样能更好地保证金融市场的稳定运行，保障人民的财产安全。