机动目标拦截新型微分几何制导律设计

2018-10-15黄景帅张洪波汤国建包为民

系统工程与电子技术 2018年10期

黄景帅, 张洪波, 汤国建, 包为民,2

(1. 国防科技大学空天科学学院, 湖南长沙 410073;2. 中国航天科技集团有限公司, 北京 100048)

0 引言

随着空天技术的飞速发展,来袭目标速度越来越快,并具备一定的机动能力,给现有的防空反导系统造成了严峻的挑战。拦截末制导律作为其中的一项关键技术,负责在拦截末段导引导弹直接碰撞杀伤目标。实施机动作为目标逃避拦截的主要手段之一,将致使导弹消耗更多的过载,降低制导精度。因此,如何设计能够有效应对目标机动又节省过载消耗的末制导律变得至关重要。

由于形式简单、工程易实现,比例导引(proportional navigation,PN)成为目前应用最广泛的制导律[1]。对于非机动或弱机动目标,PN能够取得优异的制导性能。但是,由于仅令制导加速度正比于视线转率,未直接针对目标机动进行处理,导致PN只具备有限的拦截机动目标的能力。增广型PN虽然对目标机动进行了补偿,但是需要目标的加速度信息,通常情况下难以精确获得,不利于工程实现[2]。因此,学者们基于不同理论提出了诸多先进制导律,如滑模制导律[3-4]、有限时间收敛制导律[5-6]、微分几何制导律(differential geometric guidance law,DGGL)[7-8]等,期望产生优于PN的性能。

微分几何理论在弧长体系下引入曲率和挠率参数分别刻画空间光滑曲线的弯曲和扭曲程度,当设定初始的伏雷内标架后,通过曲线的曲率和挠率值,即可确定曲线在空间中的变化趋势[9]。然而,导弹的拦截制导实质上等同于弹道曲线的在线规划问题,如果实时地给出弹道曲线的曲率和挠率参数,同样可实现导弹的制导。因此,微分几何理论为拦截制导律的设计提供了全新的视角,成为近年来研究的热点。文献[7]基于微分几何理论在弧长体系下描述了三维的弹目相对运动,提出了由曲率和挠率指令构成的DGGL。在文献[7]的基础上,文献[8]研究了平面内DGGL的形式。利用滑模控制理论和李群方法,文献[10]设计了一种非线性的DGGL,仿真表明,在拦截机动目标方面其制导性能优于文献[7]中的DGGL。文献[11]将目标机动作为外界扰动项,基于二阶滑模控制器和零化视线角速率的思想设计了一种制导性能优于文献[10]中的DGGL。但是,上述制导律的推导均基于假设导弹和目标常速度飞行,且导弹与目标的速度比大于1来进行,极大限制了DGGL的应用范围。文献[12]不针对导弹和目标施加任何限制,直接推导得到了应用范围扩展的DGGL。通过定义的视线旋转坐标系,文献[13]提出了一种广义的微分几何制导律(generalized DGGL,GDGGL),垂直于视线方向的指令加速度作为可设计变量,为获得更有效和实际的DGGL提供了巨大的空间。此外,取代复杂且需要目标加速度信息的挠率指令,文献[14-15]分别给出了直接解算指令加速度方向的几何和代数方法,提高了DGGL的鲁棒性。基于GDGGL,文献[16]应用有限时间稳定理论设计了一种DGGL,可保证视线转率在有限时间内收敛至零。DGGL型制导律虽然与纯比例导引(pure PN,PPN)同属于以导弹速度为参考的制导律范畴,适用于大气层内拦截,但是其提供了一种全新的制导体制,且通过合理设计可具备更优异的性能。视线转率在有限时间内收敛至零或其邻域,固然会提高制导精度,但是在拦截初段可能会产生较大过载,致使过载分布不均匀。

在先进制导律的设计过程中,均无法回避目标机动加速度项的处理,目前主要有两种处理方法。一是利用非线性观测器对其进行估计,进而补偿到设计的制导律中[5-6,12,15-17]。但是,观测器的估计误差存在初始尖峰现象,且误差的存在导致制导律的稳定性难以证明。此外,目前文献在仿真验证中均假设构造观测器所需的测量信息是无误差的,在实际噪声环境下观测器的精度有待考验。二是将目标加速度看作有界干扰,基于鲁棒控制理论抑制干扰的影响,若干扰上界无法预知通常设计自适应估计律对其进行逼近[3-4,18-20]。

在以上分析的基础上,针对机动目标拦截问题,本文基于微分几何制导体制提出了一种新型的DGGL(novel DGGL,NDGGL)。首先,通过滑模面的构造,控制视线转率随着弹目距离的减小而逐渐收敛,而非快速地收敛至零；其次,将目标机动看作未知的有界干扰,通过设计一种双幂次自适应估计律对其上界进行逼近,稳定性分析表明所设计的制导律能够确保滑模变量的渐进收敛性;最后,仿真验证了NDGGL的有效性。

1 弹目相对运动模型

考虑三维拦截场景,忽略导弹控制回路的动态特性,并将导弹和目标视作质点。如图1所示,给出了惯性坐标系OIxIyIzI下弹目拦截交战的几何关系,M与T分别代表导弹和目标,它们之间的连线即为视线(line of sight,LOS),vm与vt分为代表导弹和目标的速度。

图1 拦截交战几何关系Fig.1 Intercept engagement geometry

由图1可知,弹目的相对位置关系为

r=rt-rm=rer

(1)

式中,r为弹目相对距离；er为视线方向的单位矢量。对式(1)求导得

v=vt-vm

(2)

式中,v为弹目相对速度。由于视线的旋转完全由导弹和目标垂直于视线方向的速度来决定,因此视线的旋转角速度ω垂直于视线,并且

(3)

通常情况下,利用视线坐标系或其他实质相同的坐标系来描述弹目的相对运动方程,如文献[5-6]。但是,由此推导的微分方程在垂直于视线的两个方向上是高度耦合的,导致拦截制导律设计的复杂化。文献[19]定义了一种新型的视线旋转坐标系,如图2中(er,eθ,eω)所示,得到了解耦的相对运动方程。

图2 视线旋转坐标系Fig.2 LOS rotation reference frame

图2中,由矢量r和v张成的平面称作交会平面;om为导弹质心;omxe为拦截初始时刻的视线方向,omye在交会平面内垂直于omxe,其方向与弹目初始相对速度v0的夹角为锐角,平面xeomye与交会平面固联。单位矢量eω和eθ分别定义为

eω=omxe×omye,eθ=eω×er

(4)

在视线旋转坐标系下,弹目相对运动的方程组为

(5)

式中,atr、atθ与atω分别为目标加速度在视线旋转坐标系下的3个分量;amr、am θ与am ω分别为导弹加速度在视线旋转坐标系下的3个分量;ω、Ω分别为视线转率、交会平面旋转角速度大小。由式(5)可知,交会平面内的运动与其旋转运动是解耦的。

2 GDGGL

传统意义上,DGGL由曲率和挠率指令组成,曲率决定制导加速度指令的大小,挠率改变制导加速度指令的方向。而文献[13]提出的GDGGL为

(6)

式中,am为导弹的指令加速度;nm为垂直于导弹速度的单位矢量。对于nm的求解,若利用形式复杂的挠率指令,易引起制导律不稳定,且需要目标的加速度信息,难以工程实现。因此,在文献[15]利用代数法直接求解nm的基础上,采用如下改进的方法。

为了保证式(6)中的分母不为零,假设

nm·eθ=λ

(7)

式中,0<λ≤1。同时,nm还必须满足以下两个约束:

(8)

式中,tm为导弹速度方向上的单位矢量。假设nm、tm和eθ在惯性空间中的指向分别为

(9)

于是,联立式(7)～式(8)可得nm有解的条件为

A2+B2+C2≥λ2

(10)

式中,A=a1b2-a2b1;B=a1b3-a3b1;C=a2b3-a3b2。根据式(10),λ取为

(11)

式中,σ是足够小的正数。文献[15]中,令λ在整个制导过程中始终为常值,不排除出现nm无解的情形,而式(11)可确保nm始终有解。通常情况下,求解方程组可获得两个满足条件的解,记作nm1与nm2。为了保证制导指令的连续性,应选取满足如下条件的解:

(12)

3 NDGGL

3.1 制导律设计

由式(5)、式(6)可知,交会平面内的am θ是GDGGL中的关键变量,决定着拦截过程中垂直于视线的相对速度大小或视线转率的收敛性。

令x=rω,式(5)的第二个方程表示为

(13)

针对式(13),设计如下滑模面:

(14)

(15)

最终,可得η≥1/2。

对式(14)第一式求导并联立式(5)的第二个方程,得

(16)

选择如下的快速趋近律:

(17)

式中,α、β>0,均为无量纲常量;0<γ<1;sgn(·)为符号函数。将式(16)代入式(17),有

(18)

由于无法通过直接测量来获取atθ的信息,所以多数情况下难以对atθ实施精确补偿,导致系统的运动轨迹会偏离滑模面,偏离的程度能够反映出目标机动的水平,即|s|越大表明目标机动的干扰越强。鉴于实际的目标加速度不可能无限大,可假设

|atθ|≤d

(19)

式中,d≥0未知。为了补偿目标机动的干扰,基于|s|越大干扰越强的原则,本文提出一种关于|s|的双幂次形式的自适应律对d进行估计,其表达式为

(20)

(21)

式(21)所示的am θ中含有不连续的符号函数切换项,易引起抖振。为此,用饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s),其表达式为

(22)

但是,饱和函数替代符号函数会对系统在|s|<δ内的稳定性产生影响。为了消除该影响,将式(21)修正为

(23)

式中,e≥1-(μ1+μ2)/2;c≥1/4。联立式(23)和式(6),即构成了NDGGL。

3.2 稳定性证明

在给出NDGGL稳定性的证明之前,先给出证明中需要的定义及引理。

定义1[21]Lp空间。对于y: [0,∞) →R,若满足p方可积条件,即

(24)

则y∈Lp。

∀t≥t0

(25)

(26)

引入虚拟变量ξ,其导数设定为

(27)

定义Lyapunov函数为

(28)

(29)

(30)

于是,有

(31)

因此,展开式(29)得

(32)

当|s|<δ时,sat(s)=s/δ,再次对V求导得

(33)

(34)

证毕

4 仿真分析

本节通过仿真,针对不同类型的机动目标进行拦截,来验证所设计的NDGGL的有效性。导弹和目标的初始状态如表1所示。

表1 导弹和目标初始状态

选取现有的两种制导律与NDGGL进行性能比较:经典的PPN制导律、文献[16]基于有限时间稳定理论和扩张状态观测器设计的DGGL,简记为DGGL-FE。PPN的表达式为

am=Nω×vm

(35)

式中,N为导航比。DGGL-FE的表达式为

(36)

(37)

式中,t0为初始制导时刻。

考虑以下两种典型的目标机动形式：

(1) 场景1:常值机动,at=(0,2g0,3g0);

(2) 场景2:正弦机动,at=(0,2g0,4g0cos(0.5t))。

场景1目标作常值机动,各制导律中所涉及参数设置如表2所示。

表2 制导律参数

注:1) DGGL-FE中nm的初始值和解算方法均与NDGGL一致;

2)下标0表示初始时刻的参数值。

基于上述拦截条件,仿真结果如表3和图3所示。由仿真结果可知,NDGGL的视线转率几乎随着时间线性下降,与仿真条件中的η=2相吻合,而PPN由于不含目标机动处理项,难以有效抑制视线转率,相应的脱靶量也较大。在能量总消耗方面,NDGGL显著低于PPN,优于控制视线转率有限时间收敛并采用扩张状态观测器对目标加速度进行补偿的DGGL-FE,表明NDGGL中渐进地控制视线转率收敛能够节省能量消耗,同时并不影响脱靶量。在DGGL-FE仿真中,观测器的估计误差会出现初始尖峰现象,而且如果初始估计误差较大,初始尖峰现象会更严重,导致目标加速度的过补偿,易引起导弹初始段过载的饱和,而NDGGL的过载分布均匀,如图3(d)所示。