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高中多元化的函数解题思路方法初探

2018-10-11

关键词:结合法交点思路

(湖南省南县第一中学高二 湖南南县 413200)

引言

函数是函数关系式的概括性表达。笔者翻阅了相关资料,了解到我国是进行函数研究较早的国家之一。笔者在高中阶段的学习里不止一次地发现,很多同学面对函数学习、解题存在困扰,无法透析核心知识,也抓不住解题的思路和方法。与老师沟通后,笔者总结了当前高中函数解题的若干问题和思路方法,以期为后续高中生函数解题提供参考。

一、当前高中函数解题的问题

1.题目较为抽象

高中函数相关题目的典型特征是内容十分抽象。由于函数题目重视考察原理,而这些原理在现实生活中往往鲜有涉及。如一次函数,从定义上看,X、Y需要满足很多约束条件才能称为一次函数。但现实生活中,很多与数学函数相关的知识都不是绝对理想化的,即便简单的抛物线曲线变化也受到风力、空气阻力的影响。面临函数题目时,学生很难通过常规的联想寻找到解题思路。抽象性是当前高中函数解题的主要困扰[1],笔者在接触函数类题目之初也曾面临类似的困惑。

2.解题思路不开阔

高中学生的学习依然带有中小学阶段的若干特征,即强调对知识原理的理解,运用上重视程度不足。在函数学习的过程中笔者了解到,函数带有多变性特点,这种特点的基础来源于函数知识本身的复杂性。高中生在函数学习的过程中,如果只掌握一类知识,很可能受到结构化解题思路的影响,一旦题目出现变化,难以有效理解,解答上也会受到影响。比如我们很多同学在学基本初等函数的时候,也许还比较容易理解,但是一旦以基本函数构造复合函数,难度一下拔高。逻辑能力稍弱且又没有掌握正确方法的同学,遇到相关复合函数的题型,经常有无从下手之感[2]。

3.题目知识点过多

知识点过多也是当前高中函数学习的主要挑战之一。在学习和解题时笔者经常发现,函数往往以复合的形式存在。单调函数、反函数、复合函数多见于同一个题目中,知识内容过于丰富。面临这类题目,笔者以及同学们普遍感觉思路混乱,需要抽丝剥茧,层层递推,进行反复思考后才能找到解题的突破点。此外,有部分函数知识以应用类题目的形式出现,融合了高中数学的其他板块内容,这也给解题带来了难度。

二、多元化的函数解题思路方法

1.图形结合法

图形结合法是笔者常用的一种函数解题方法。该方法的基本特色是以图像表达题目已知条件的核心信息,将这些信息进行提炼后给予集中表达,可以帮助高中生更好的获取解题思路。

如:已知函数f(x)=logax+x-b,其中a>0且a≠1,试求2<a<3,3<b<4,x0为函数零点且 n<x0<n+1,n∈N* 时,n 的大小。

该题目的信息给足了,可以根据已知条件建立一个坐标系,构画函数图像,根据函数图像获取一个基本的解题方向。函数图像如图1所示。首先假设函数y=logax,z=-x+b,已经条件中给明2<a<3,3<b<4,即是说,在y=logax且x的值为2时,y函数定义域内必然至少有一个值是小于1的。在函数图像中也可以发现这一部分,且其交叉点在(2,3)之间。据此可以得出结果,当x0为函数零点,同时满足 n<x0<n+1,n∈N* 时,n的值为2。

图1 函数的图像

2.了解题目主要考察内容

了解题目考察的主要内容是进一步实现解题的关键。笔者在高中函数学习的过程中,谨记老师关于解题的教导,即“了解出题人的意图”。解题之前,先分析题目要考察的核心知识,以此作为解题的基本思路。

如:已知函数y=2x2-mx-m2,求证对于任意实数m,该函数与x轴总有交点;另求证若该函数图像与x轴有两个公共点A,B,且点A的坐标为(1,0),求点B的坐标。

这个题目考察的重点为二次函数及其定义域。解题时,可以直接抓住二次函数的特点。第一问,令y=0, △>=0,m总有解,因此该函数与x轴总有交点。第二问,已知A的坐标为(1,0),则x=1,满足方程2x2-mx-m2=0,得:m=-2或1,分别代入2x2-mx-m2=0。当m=-2时,得x=1和 -2,另一交点为B(-2,0);当m=1时,解得:x=1和-1/2,另一交点为B(-1/2,0),完成解题。

3.寻找创新思路

思路的创新也是高中函数解题的重要方式之一。笔者认为,数学的抽象性注定了函数解题的复杂性。而尝试解析不同问题,应明确一个基本原则“万变不离其宗”。对函数知识进行充分学习,掌握其基本原理,再以原理为导向,进行复杂函数的探索,寻找更多的切入点和思路。

如:已知函数y=x2-4x+1。设函数与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),求x12+x22的值。

该题目考察的核心问题是一次函数的定义域。可以通过一次函数相关知识直接设法解题,也可以通过其他思路寻找解题办法,比如运用韦达定理。在韦达定理下,x1+x2=4, x1*x2=1,x12+x22的值可以用计算式(x1+x2)2-2x1*x2表达。在该计算式下,又可以获取计算等式:x12+x22=(x1+x2)2-2x1*x2,计算得到x12+x22=16-2*1=14,完成题目的解答。

此外,部分题目考察的知识点较多,还可以采用分步解析法,将知识拆分成若干部分,分别思考解题方法,再进行总结,避免杂糅的知识点影响解题思路。

结语

在高中学习、解题过程中,笔者以及笔者的同学们都曾受到函数解题的困扰。通过分析高中多元化的函数解题思路方法,学习了解相关知识,对函数解题的问题进行总结,可以发现三个主要问题,即题目较为抽象、学生解题思路不开阔、题目知识点过多。多元化视角下,可以采用图形结合法、了解题目主要考察内容、寻找创新思路、进行分步解析等,提升函数解题的效率和学习的总体水平。

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