高中多元化的函数解题思路方法初探

（湖南省南县第一中学高二 湖南南县 413200）

引言

函数是函数关系式的概括性表达。笔者翻阅了相关资料，了解到我国是进行函数研究较早的国家之一。笔者在高中阶段的学习里不止一次地发现，很多同学面对函数学习、解题存在困扰，无法透析核心知识，也抓不住解题的思路和方法。与老师沟通后，笔者总结了当前高中函数解题的若干问题和思路方法，以期为后续高中生函数解题提供参考。

一、当前高中函数解题的问题

1.题目较为抽象

高中函数相关题目的典型特征是内容十分抽象。由于函数题目重视考察原理，而这些原理在现实生活中往往鲜有涉及。如一次函数，从定义上看，X、Y需要满足很多约束条件才能称为一次函数。但现实生活中，很多与数学函数相关的知识都不是绝对理想化的，即便简单的抛物线曲线变化也受到风力、空气阻力的影响。面临函数题目时，学生很难通过常规的联想寻找到解题思路。抽象性是当前高中函数解题的主要困扰[1]，笔者在接触函数类题目之初也曾面临类似的困惑。

2.解题思路不开阔

高中学生的学习依然带有中小学阶段的若干特征，即强调对知识原理的理解，运用上重视程度不足。在函数学习的过程中笔者了解到，函数带有多变性特点，这种特点的基础来源于函数知识本身的复杂性。高中生在函数学习的过程中，如果只掌握一类知识，很可能受到结构化解题思路的影响，一旦题目出现变化，难以有效理解，解答上也会受到影响。比如我们很多同学在学基本初等函数的时候，也许还比较容易理解，但是一旦以基本函数构造复合函数，难度一下拔高。逻辑能力稍弱且又没有掌握正确方法的同学，遇到相关复合函数的题型，经常有无从下手之感[2]。

3.题目知识点过多

知识点过多也是当前高中函数学习的主要挑战之一。在学习和解题时笔者经常发现，函数往往以复合的形式存在。单调函数、反函数、复合函数多见于同一个题目中，知识内容过于丰富。面临这类题目，笔者以及同学们普遍感觉思路混乱，需要抽丝剥茧，层层递推，进行反复思考后才能找到解题的突破点。此外，有部分函数知识以应用类题目的形式出现，融合了高中数学的其他板块内容，这也给解题带来了难度。

二、多元化的函数解题思路方法

1.图形结合法

图形结合法是笔者常用的一种函数解题方法。该方法的基本特色是以图像表达题目已知条件的核心信息，将这些信息进行提炼后给予集中表达，可以帮助高中生更好的获取解题思路。

如：已知函数f(x)=logax+x-b，其中a＞0且a≠1，试求2＜a＜3，3＜b＜4，x0为函数零点且 n＜x0＜n+1，n∈N* 时，n 的大小。

该题目的信息给足了，可以根据已知条件建立一个坐标系，构画函数图像，根据函数图像获取一个基本的解题方向。函数图像如图1所示。首先假设函数y=logax，z=-x+b，已经条件中给明2＜a＜3，3＜b＜4，即是说，在y=logax且x的值为2时，y函数定义域内必然至少有一个值是小于1的。在函数图像中也可以发现这一部分，且其交叉点在（2，3）之间。据此可以得出结果，当x0为函数零点，同时满足 n＜x0＜n+1，n∈N* 时，n的值为2。

图1 函数的图像

2.了解题目主要考察内容

了解题目考察的主要内容是进一步实现解题的关键。笔者在高中函数学习的过程中，谨记老师关于解题的教导，即“了解出题人的意图”。解题之前，先分析题目要考察的核心知识，以此作为解题的基本思路。

如：已知函数y=2x2-mx-m2，求证对于任意实数m，该函数与x轴总有交点；另求证若该函数图像与x轴有两个公共点A，B，且点A的坐标为（1，0），求点B的坐标。

这个题目考察的重点为二次函数及其定义域。解题时，可以直接抓住二次函数的特点。第一问，令y=0， △＞=0，m总有解，因此该函数与x轴总有交点。第二问，已知A的坐标为（1，0），则x=1，满足方程2x2-mx-m2=0，得：m=-2或1，分别代入2x2-mx-m2=0。当m=-2时，得x=1和 -2，另一交点为B（-2，0）；当m=1时，解得：x=1和-1/2，另一交点为B（-1/2，0），完成解题。

3.寻找创新思路

思路的创新也是高中函数解题的重要方式之一。笔者认为，数学的抽象性注定了函数解题的复杂性。而尝试解析不同问题，应明确一个基本原则“万变不离其宗”。对函数知识进行充分学习，掌握其基本原理，再以原理为导向，进行复杂函数的探索，寻找更多的切入点和思路。

如：已知函数y=x2-4x+1。设函数与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），求x12+x22的值。

该题目考察的核心问题是一次函数的定义域。可以通过一次函数相关知识直接设法解题，也可以通过其他思路寻找解题办法，比如运用韦达定理。在韦达定理下，x1+x2=4， x1*x2=1，x12+x22的值可以用计算式（x1+x2）2-2x1*x2表达。在该计算式下，又可以获取计算等式：x12+x22=（x1+x2）2-2x1*x2，计算得到x12+x22=16-2*1=14，完成题目的解答。

此外，部分题目考察的知识点较多，还可以采用分步解析法，将知识拆分成若干部分，分别思考解题方法，再进行总结，避免杂糅的知识点影响解题思路。

结语

在高中学习、解题过程中，笔者以及笔者的同学们都曾受到函数解题的困扰。通过分析高中多元化的函数解题思路方法，学习了解相关知识，对函数解题的问题进行总结，可以发现三个主要问题，即题目较为抽象、学生解题思路不开阔、题目知识点过多。多元化视角下，可以采用图形结合法、了解题目主要考察内容、寻找创新思路、进行分步解析等，提升函数解题的效率和学习的总体水平。