《圆的内接四边形》案例分析
2018-10-11
（绥阳林业局第一中学 黑龙江东宁 157212）
一、教材学情分析
本文从圆内接三角形的概念正向迁移到圆内接四边形的概念，起到承上启下的作用。初中生已经初步了解图形的相关知识，已经有一定的分析和探究能力，采用合作探究式的主体参与教学模式，可以发挥他们的主观能动性，让他们积极参与到教学中来。
二、创新之处
1.利用《几何画板》采取了让学生动手画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论。既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实践能力、观察能力、归纳能力和自学能力。
2.引入了数学开放题，教师在指导学生学习概念和原理时，只给他们一些事实和问题，让学生积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的原理和规则，对此本教学案例中圆的内接四边形的概念、性质等均没有直接给学生，而是在教师创设的问题情境中让学生发现而获得。
三、教学目标
1.知识目标：使学生理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步学会应用性质定理进行有关命题的证明和计算。
2.借助计算机技木，培养学生在数学学习中的动手实践能力。
3.通过让学生充分感受发现问题和解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创新意识和数形结合的思维。
四、教学重、难点
重点：圆的内接四边形的性质定理
难点：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
五、课时安排：
一课时
六、教学手段：
多媒体
七、教学过程
复习旧知
（1）在⊙O上，任取三个点A、B、C，然后顺次连结、得到的是什么图形？这个图形与⊙O有什么关系？
（2）由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢（类比）？
推进新知
1.概念学习
（1）什么叫圆的内接四边形?
（2）如图1，说明四边形ABCD与⊙O的关系。
2.合作探究
（1）前面我们己经学习了一类特殊四边形----平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？（从角、边、对角线入手）
（2）打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD及其外角（教师适当指导）
（3）量出可度量的所有值（圆的半径和四边形的边、内角、外角、对角线），计算对角之和、对边之和、对角线之和、周长、面积。
（4）改变圆的半径大小，这些量有无变化？由（3）通过计算观察得出的某些关系有无变化？
（5）在圆上移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由（3）计算观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？
（6）通过以上试验得到对角是互补的，用命题的形式表述由刚才的实验得出来的结论。（让学生口答）结论：圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
（7）证明猜想
已知：如图2，四边形ABCD内接于⊙O.求证：
∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC=180°，
∠ECD=∠A。
（8）知识运用
①尝试解疑
问题1：已知：如图3，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。
求证：DB=DC。
问题2：如图4，⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF和⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。
证明：CE∥DF
方法：（学生分组讨论下列问题）
第一：要证明两条直线平行可以用那些定理？
第二：本题中我们要让CE∥DF需要什么？
第三：在无法证明时，你能在图形中找到圆内接四边形吗？怎样找？（连接AB）图4
②课堂练习
已知：在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=50°，∠D-∠B＝40°，求∠B、∠C、∠D的度数。
如图5，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，AC、BD相交于点P，问：你根据已知条件能得出什么结论？
第一：课堂小结--学生总结
第二：布置作业--如教材中有这样一个平面几何题“证明：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。”将它改造为“画出一个四边形，顺次连接四边形四条边的中点，观察所得的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。”
八、教学反思
优点：这一教学案例是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的尝试，在经历了观察、分析、推测、计算、筛选、决策的过程中，使学生思维能力得到了发展，在自主合作探究的学习过程中，尝到了探索的乐趣，体验了成功的喜悦，并获得了战胜困难积极向上的心理体验。
不足之处：
1.教学内容安排过多，时间分配不合理；
2.教师引导学生的语言应更具有启发性和更简洁；
3.探究类试题应引导学生加强对基本概念和基本原理的理解，如课堂时间不足，可放到数学兴趣小组的任务当中。
