创新命题推陈出新———必修1，2及动量守恒创新题赏析

■江苏省江阴高级中学 徐汉屏(特级教师)

必修1涉及直线运动、力和牛顿运动定律,必修2涉及曲线运动、万有引力和机械能,动量守恒属于选修3-5的内容。必修1、必修2及动量守恒涵盖了除机械振动与机械波以外的绝大部分高中力学内容,分别以力的观点、能的观点和动量的观点研究物体的运动。这部分知识是高中物理的基础,命题的创新性在2018年多份高考试卷中有很好的展现。

一、必修1创新题赏析

创新题1:(2018年高考天津卷)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺庙倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之,曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图1所示,木楔两侧产生推力N,则( )。

图1

A.若F一定,θ大时N大

B.若F一定,θ小时N大

C.若θ一定,F大时N大

D.若θ一定,F小时N大

解析:将力F沿垂直于木楔两侧面方向分解,由几何关系得木楔两侧产生推力N=若F一定,θ小时N大;若θ一定,F大时N大。答案为BC。

如图2所示是木工用的凿子工作时的截面示意图,三角形ABC为直角三角形,已知BC长为l,AB长为d。大小为F的作用力垂直作用于MN,MN与AB平行,忽略凿子的重力,则这时凿子推开木料AC面和BC面的力分别为多大?

图2

提示:将力F沿垂直于AC面和BC面两个方向分解,由相似三角形关系可得,凿子推开木料AC面和BC面的力分别为

小结:创新题1与上述常规题均涉及力的合成与分解(也可利用共点力的平衡条件求解),且均涉及“劈”的实际应用。所不同的是,创新题1是以古文的记载来呈现问题情景,令人耳目一新。

图3

现学现练:(2017年高考天津卷)如图3所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( )。

A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变

B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大

C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小

D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移

思路点拨:本题与创新题1同属力的合成与分解或共点力平衡的实际应用。设衣服(含衣架)的质量为m,绳子与水平方向间的夹角为θ,则绳子的拉力设绳长为l,两杆间距为d,则绳子拉力仅与l和d有关,而与衣服(含衣架)的质量m和绳的两端高度差Δh无关。答案为AB。

创新题2:(2018年高考全国Ⅱ卷)某同学用如图4(a)所示的装置测量木块与木板间的动摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与木块和弹簧秤相连,滑轮和木块间的细线保持水平,在木块上放置砝码。缓慢向左拉动水平放置的木板,当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时,弹簧秤的示数即为木块受到的滑动摩擦力的大小。某次实验所得数据在表1中给出,其中f4的值可从图4(b)中弹簧秤的示数读出。

表1

回答下列问题:

(2)在图5的坐标纸上补齐未画出的数据点并绘出f-m图像。

图5

(3)f与m、木块质量M、木板与木块间的动摩擦因数μ及重力加速度大小g之间的关系式为f=____,f-m图像(直线)的斜率的表达式为k=____。

(4)取g=9.80m/s2,由绘出的f-m图像求得μ=____。(保留2位有效数字)

解析:(1)从图4(b)中读出弹簧秤的示数f4=2.75N。

(2)在坐标纸上补齐未画出的数据点并绘出f-m图像如图6所示。

(3)由f=μN和N=(M+m)g得关系式f=μ(M+m)g。由f=μ(M+m)g,即f=μgm+μgM,可得f-m图像(直线)的斜率的表达式为k=μg。

为了测量两张纸间的动摩擦因数,某同学设计了一个实验。如图7所示,在木块A和木板B上贴上待测的纸(纸重不计),木板B水平固定,用测力计拉木块A,使木块A匀速向左运动,读出并记下测力计的示数F,测出木块A的重力GA,由F=μN=μGA得

图7

(1)该同学为什么要把纸贴在木块、木板上而不直接测量两张纸间的摩擦力?

(2)在实验操作中,发现实验误差较大,请你改进这个实验以减小误差。

(3)请对改进前、后的两种实验方案进行简要分析并作出评价。

提示:(1)若直接测两张纸间的摩擦力,则因为两张纸间的压力太小,摩擦力更小,所以无法完成测量。把纸贴在木块、木板上可以增大压力,从而增大摩擦力,使得相对误差较小。

(2)改进后的实验如图8所示。

(3)改进前:只有当木块A在木板B上匀速运动时,测力计示数才等于摩擦力大小,但要保证木块A做匀速运动比较困难,因此误差较大。改进后:无论木板B怎样被拉出,木块A始终处于平衡状态,测力计示数等于摩擦力大小,从而减小了实验误差。

小结:创新题2与上述常规题均涉及动摩擦因数的测量,前者实际上是对后者进一步的改进。创新题2的新颖之处包括将水平悬空的弹簧秤改为通过定滑轮竖直吊起,便于实验操作;在木块上加放了不同质量的砝码,以改变木块对木板的压力大小,进行多次测量,减小偶然误差;采用图像法处理实验数据,减少了烦琐的计算。

现学现练:(2018年高考江苏卷)某同学利用如图9所示的实验装置来测量重力加速度g。细绳跨过固定在铁架台上的轻质滑轮,两端各悬挂一只质量为M的重锤。实验操作如下:①用米尺量出重锤1底端距地面的高度H;②在重锤1上加上质量为m的小钩码;③左手将重锤2压在地面上,保持系统静止,释放重锤2,同时右手开启秒表,在重锤1落地时停止计时,记录下落时间;④重复测量3次下落时间,取其平均值作为测量值t。

请回答下列问题:

(1)步骤④可以减小对下落时间t测量的____(选填“偶然”或“系统”)误差。

(2)实验要求小钩码的质量m要比重锤的质量M小很多,主要是为了____。

A.使H测得更准确

B.使重锤1下落的时间长一些

C.使系统的总质量近似等于2M

D.使细绳的拉力与小钩码的重力近似相等

(3)滑轮的摩擦阻力会引起实验误差。现提供一些橡皮泥用于减小该误差,可以怎么做?

(4)使用橡皮泥改进实验后,重新进行实验测量,并测出所用橡皮泥的质量为m0。用实验中的测量量和已知量表示g,得g=____。

思路点拨:本题与创新题2均不在考试说明的必考实验之列,同属测量型力学创新实验,要求能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去处理问题,着重考查考生的探究创新能力。

(1)步骤④可以减小对下落时间t测量的偶然误差。

(2)实验要求小钩码的质量m要比重锤的质量M小很多,主要是为了使重锤1下落的时间长一些,应选B。

(3)在重锤1上粘上橡皮泥,调整橡皮泥质量直至轻拉重锤1能观察到其匀速下落。

(4)设加挂小钩码使重锤1下落的加速度大小为a,绳中拉力大小为T,对重锤1、2分别应用牛顿第二定律得(M+m)g-T=(M+m+m0)a,T-Mg=Ma,又有H=解得

二、必修2创新题赏析

创新题3:(2018年高考全国Ⅰ卷)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈,将两颗中子星都视为质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )。

A.质量之积 B.质量之和

C.速率之和 D.各自的自转角速度

解析:用L、n分别表示两中子星的间距和转速,设两中子星的质量分别为m1、m2,转动半径分别为r1、r2,速率分别为v1、v2,则r1+r2=L,又有m2(2πn)2r2,解得根据v1=2πnr1,v2=2πnr2,解得v1+v2=2πnL。无法求出两中子星的质量之积及各自的自转角速度。答案为BC。

图10

现代观测表明,由于引力作用,恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统,最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。如图10所示,两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动,这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2,它们间的距离始终为L,引力常量为G,求:

(1)双星旋转的中心O到质量为m1的恒星的距离。

(2)双星的转动周期。

提示:设双星旋转的中心O到质量为m1的恒星的距离为x,由解得

小结:创新题3与上述常规题均涉及双星系统的分析。抓住双星围绕同一中心做匀速圆周运动、向心力大小相等、转动周期(角速度、转速)相同的特点,是求解此类问题的关键。创新题3的新颖之处在于添加了“2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波”这一信息,将对双星问题的讨论置于科学家研究引力波的背景下。其实,此信息只是增加了问题的现实意义,而不影响对双星问题的分析。

现学现练:(2018年高考天津卷)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动视为匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算出卫星的( )。

A.密度 B.向心力的大小

C.离地高度 D.线速度的大小

思路点拨:本题的卫星运动问题与创新题3及上述常规题的天体运动问题均需应用万有引力公式和圆周运动知识进行求解。由解得卫星的离地高度卫星的线速度大小因为不知道卫星的质量和体积,所以无法求出卫星的密度和向心力的大小。答案为CD。

创新题4:(2018年高考北京卷)根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在其正下方位置。但实际上,赤道上方200m处无初速度下落的小球将落在其正下方位置偏东约6cm处。这一现象可解释为:除重力外,由于地球自转,下落过程中小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比。现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程中该“力”水平向西,则小球( )。

A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零

B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零

C.落地点在抛出点东侧

D.落地点在抛出点西侧

解析:由于地球自转,小球从赤道地面竖直上抛,除受到竖直向下的重力外,在上升阶段还受到水平向西的“力”,在下落阶段还受到水平向东的“力”,且该“力”与竖直方向的速度大小成正比。因此小球在竖直方向上做竖直上抛运动,在水平方向上先向西做加速度逐渐减小的变加速运动,再继续向西做加速度逐渐增大的变减速运动。可见,小球到最高点时,水平方向的加速度为零,而速度不为零,小球落地点在抛出点西侧。答案为D。

将小球从水平地面竖直上抛,小球在运动过程中始终受到沿水平方向的恒定风力作用。以下说法中正确的是( )。

A.小球落地时的速度与抛出时的速度大小相等

B.小球从最高点下落到地面的时间与自地面上升到最高点的时间相等

C.与无风时相比,小球落地时的速度变大

D.与无风时相比,小球从抛出到落地的时间变长

提示:无风时,小球做竖直上抛运动;有风时,小球在竖直方向上做竖直上抛运动,而在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动。因此有风时,小球落地时的速度大于抛出时的速度,小球从最高点下落到地面的时间与自地面上升到最高点的时间相等。与无风时相比,小球落地时的速度变大,小球从抛出到落地的时间不变。答案为BC。

小结:与上述常规题相比,创新题4同样是讨论竖直上抛物体受到横向作用力的问题。今人耳目一新的是创新题4考虑了地球自转的影响,小球在上升与下落过程中所受的横向“力”方向不同,且与竖直方向的速度大小成正比,是个变力,这就使得在信息的汲取与问题的分析上都提升了难度。

图11

现学现练:(2018年高考江苏卷)如图11所示,轻质弹簧一端固定,另一端连接一小物块,O点为弹簧在原长时物块的位置。物块从A点由静止释放,沿粗糙程度相同的水平面向右运动,最远到达B点。在从A点到B点的过程中,物块( )。

A.加速度先减小后增大

B.经过O点时的速度最大

C.所受弹簧弹力始终做正功

D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功

思路点拨:本题与创新题4同属对物体进行受力分析与运动过程分析的问题。在从A点到B点的过程中,物块始终受到向左的滑动摩擦力作用。开始时弹簧处于压缩状态,弹簧弹力向右,且大于滑动摩擦力并逐渐减小,物块向右做加速度逐渐减小的变加速运动。当物块运动至AO之间的某点C时,弹簧弹力减小到与滑动摩擦力等大,物块继续向右运动。此后弹簧弹力继续减小,物块向右做加速度逐渐增大的变减速运动。当物块运动至O点时,弹簧弹力减为零。在物块从O点运动到B点的过程中,弹簧处于拉伸状态,弹簧弹力向左且逐渐增大,物块继续向右做加速度逐渐增大的变减速运动。因此在从A点到B点的过程中,物块的加速度先减小后增大,经过C点时的速度最大,所受弹簧弹力先做正功后做负功,且所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功。答案为AD。

图12

创新题5:(2018年高考全国Ⅲ卷)如图12所示,在竖直平面内,一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切,BC为圆弧轨道的直径。O为圆心,OA和OB之间的夹角为一质量为m的小球沿水平轨道向右运动,经A点沿圆弧轨道通过C点,落至水平轨道。在整个过程中,除受到重力及轨道作用力外,小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心,且此时小球对轨道的压力恰好为零,重力加速度大小为g。求:

(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小。

(2)小球到达A点时动量的大小。

(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。

解析:(1)设水平恒力的大小为F0,小球到达C点时所受合力的大小为F,速度的大小为v,由力的合成法则得由牛顿第二定律得解得

(2)设小球到达A点时的速度大小为v1,作CD⊥PA,交PA于D点,由几何关系得DA=Rsinα,CD=R(1+cosα)。由动能定理得解得因此小球到达A点时的动量大小

(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动,加速度大小为g。设小球在竖直方向上的初速度为v⊥,从C点落至水平轨道所用的时间为t,由运动学公式得,解得t=

图13

如图13所示,一光滑的半圆形轨道ABC固定在竖直平面内,其半径R=0.5m,轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块,给它一水平向左的初速度v0=5m/s,结果它滑上半圆轨道,通过A点,最后落在水平面上的D点,取g=10m/s2。求C、D两点间的距离s。

提示:设小物块的质量为m,经过A点时的速度为v,由A点到D点经历的时间为t,则vt,解得s=1m。

小结:创新题5与上述常规题同样涉及圆周运动与抛体运动的综合应用,不同的是小球除受到重力及轨道作用力外,还一直受到一水平恒力的作用,使得小球在竖直平面内做圆周运动的临界点由最高点变到了图中的C点。创新题5的命制不落俗套,对小球受力和运动过程的分析提出了更高的要求。

现学现练:(2018年高考北京卷)2022年将在我国举办第二十四届冬奥会,跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如图14所示,长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接,滑道BC高h=10m,C是半径R=20m圆弧的最低点,质量m=60kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑,加速度a=4.5m/s2,到达B点时的速度vB=30m/s。取重力加速度g=10m/s2。

图14

(1)求长直助滑道AB的长度L。

(2)求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小。

(3)若不计BC段的阻力,画出运动员经过C点时的受力图,并求其所受支持力N的大小。

思路点拨:本题为直线运动与圆周运动的综合应用。与创新题5相似,分析运动员做圆周运动所需的向心力是求解的关键。

(2)根据动量定理得I=mvB-mvA=1800N·s。

图15

(3)运动员经过C点时的受力情况如图15所示。运动员在BC段运动的过程中,由动能定理得由牛顿第二定律得N-mg=解得N=3900N。

三、动量守恒创新题赏析

图16

创新题6:(2018年高考全国Ⅱ卷)汽车A在水平冰雪路面上行驶,驾驶员发现其正前方停有汽车B,立即采取制动措施,但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图16所示,碰撞后B车向前滑动了4.5m,A车向前滑动了2.0m,已知A、B两车的质量分别为2.0×103kg和1.5×103kg,两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.1,两车碰撞时间极短,在碰撞后车轮均没有滚动,重力加速度大小g=10m/s2。求:

(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小。

(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小。

解析:(1)设B车的质量为mB,碰后的加速度大小为aB,由牛顿第二定律得μmBg=mBaB,解得aB=1.0m/s2。设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB',碰撞后滑行的距离为sB,由运动学公式得vB'2=2aBsB,解得vB'=3.0m/s。

(2)设A车的质量为mA,碰后的加速度大小为aA,由牛顿第二定律得μmAg=mAaA,解得aA=1.0m/s2。设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA',碰撞后滑行的距离为sA,由运动学公式得vA'2=2aAsA,解得vA'=2.0m/s。设碰撞前的瞬间A车速度的大小为vA,两车在碰撞过程中动量守恒,则mAvA=mAvA'+mBvB',解得vA=4.3m/s。

如图17所示,在光滑的水平面上,质量为m的小球A以速率v0向右运动时跟静止的质量为3m的小球B发生碰撞,碰后A球的速率求碰后B球的速率。

提示:取A球初速度的方向为正。碰撞过程的初状态(开始发生相互作用时的状态),A球的速度为v0,B球的速度为0,则初状态系统的总动量为mv0。碰撞过程的末状态(相互作用结束时的状态),A球的速度可能为也可能为设此时B球的速度为vB',则末状态系统的总动量为或由动量守恒定律得3mvB',解得碰后B球的速度或

小结:创新题6与上述常规题均涉及两物体的碰撞,只是将小球碰撞的理论模型转换成了两辆汽车的碰撞,使问题的讨论更加贴近人们的生活实际。以生活、生产和科研为背景设置物理问题是近些年高考命题的一大特点。

现学现练:(2018年高考全国Ⅰ卷)一质量为m的烟花弹获得动能E后,从地面竖直升空,当烟花弹上升的速度为零时,弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分,两部分获得的动能之和也为E,且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短,重力加速度大小为g,不计空气阻力和火药的质量,求:

(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间。

(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。

思路点拨:本题讨论烟花弹升高后的爆炸,与创新题6一样涉及实际问题中的动量守恒。

(1)设烟花弹上升的初速度为v0,由题意得解得设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t,由运动学公式得0-v0=-gt,解得t=

(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1,由机械能守恒定律得E=mgh1,解得设火药爆炸后瞬间,烟花弹上、下两部分的速度分别为v1和v2,由动量守恒定律得解得因此烟花弹上、下两部分的速度方向相反,向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为h2,由机械能守恒定律得解得因此烟花弹向上运动部分距地面的最大高度