求解相对位移的三种方法比较

■重庆市第三十七中学校 杨天才(特级教师)

两个物体之间的相对运动是一种常见的运动形式,如追及问题、传送带问题、滑块—木板问题、碰撞问题等。求解这类问题中的相对位移时,可以采用解析法、相对位移公式法和图像法,这三种方法各有各的优点和缺点,表1是这三种方法的比较:

表1

例1甲火车正以速率v1向前行驶,司机突然发现正前方同一轨道上距离为x处有另一火车乙,正以较小的速率v2沿同方向做匀速运动,甲车司机由发现情况到开始刹车所用时间(反应时间)为Δt,甲车在刹车过程中做匀减速运动。要使两列火车不相撞,甲车刹车时的加速度a至少应是多少?

解析法:两列火车恰好不相撞时,二者的速度相同,均为v2,设甲车由刹车到获得共同速度所用时间为t,根据运动学公式得x甲=解 得 a=

相对位移法:反应时间内两车均做匀速运动,由x相=v相t可得,甲车相对乙车的位移x1=(v1-v2)Δt。两列火车恰好不相撞时,二者的速度相同,均为v2,由2a相x相可得,甲车相对乙车的运动满足(v2-v2)2-(v1-v2)2=2(-a-0)(xx1),解得

图1

图像法:设甲车由刹车到获得共同速度所用时间为t,在同一坐标系内画出甲、乙两车运动的v-t图像,如图1所示。由题意知阴影部分的面积在数值上等于两车的相对位 移,即又 有,解得

例2一水平的浅色足够长传送带上放置一煤块(可视为质点),煤块与传送带间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动,求此黑色痕迹的长度。

解析法:根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿第二定律得a=μg。设经历时间t,传送带由静止开始加速到速度等于v0,煤块由静止开始加速到v,则v0=a0t,v=at。因为a＜a0,所以v＜v0,煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t',煤块的速度由v增加到v0,有v0=v+at'。此后,煤块与传送带的运动速度相同,相对于传送带不再滑动,不再产生新的痕迹。设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中,传送带和煤块移动的距离分别为x0和x,则传送带上留下的黑色痕迹的长度l=x0-x。联立以上各式解得

相对位移法:同理得煤块的加速度a=μg。设经历时间t1,传送带由静止开始加速到速度等于v0。由运动学公式得此时煤块的速度设经历时间t2,煤块由静止开始加速到速度等于v0,此后煤块与传送带相对静止,不再产生新的黑色痕迹。由运动学公式得由得传送带相对煤块的第一段位移第二段位移因此传送带上留下的黑色痕迹的长度l=x1+x2=

图2

图像法:同理得煤块的加速度a=μg。设经历时间t1,传送带由静止开始加速到速度等于v0,设经历时间t2,煤块由静止开始加速到速度等于v0,在同一坐标系内作出传送带和煤块运动的v-t图像,如图2所示,则黑色痕迹的长度l=

图3

例3如图3所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A(视为质点)位于木板B的右端,A、B、C三者的质量相等。现重物A和木板B以同一速度滑向静止的木板C,木板B与C发生正碰。碰后木板B和C粘在一起运动,重物A在木板C上滑行,重物A与木板C间有摩擦力。已知重物A滑到木板C的右端而未掉下。问:从木板B、C发生正碰到重物A刚移到木板C右端的过程中,木板C所经过的距离是木板C长度的多少倍?

解析法:设A、B、C的质量均为m,碰撞前,重物A与木板B的共同速度为v0,碰撞后木板B与C的共同速度为v1,对由木板B、C组成的系统应用动量守恒定律得mv0=2mv1,解得设重物A滑至木板C的右端时,三者的共同速度为v2,对由A、B、C三者组成的系统应用动量守恒定律得解得设重物A与木板C间的动摩擦因数为μ,从发生碰撞到重物A移至木板C的右端时木板C所经过的距离为x,对由木板B、C组成的系统应用功能关系得得设木板C的长度为l,对重物A应用功能关系得解得因此

相对位移法:同理得由可知,木板C相对重物A和木板B满足(v2-v2)2-(v0-v1)2=对木板C有μmgx=解得

图4

图像法:同理得v1=在同一坐标系内作出重物A和木板B、C运动的v-t图像,如图4所示,则木板C所经过的距离与木板C长度的比值为

例4一个质量为M的绝缘小车,静止在光滑水平面上,在小车的光滑表面上放一质量为m、带电荷量为+q的带电小物块(可视为质点),小车质量与物块质量之比M∶m=7∶1,物块距小车右端挡板的距离为L,小车车长为1.5L,如图5所示。现沿平行于车身方向加一水平向右的匀强电场E,物块由静止开始向右运动,而后与小车右端挡板相碰,若碰后小车的速度大小为碰撞前物块速度大小的并设在物块滑动过程中及其与小车相碰的过程中,物块的带电荷量保持不变,且碰撞时间极短,总能量不变。

图5

(1)通过分析与计算说明碰撞后物块能否滑出小车车面。

(2)若能滑出,求出由物块开始运动至滑出时静电力对小物块所做的功;若不能滑出,求出物块从开始运动至第二次碰撞前滑块的速度大小。

解析法:(1)带电小物块仅在静电力作用下向右沿光滑表面做加速运动,位移为L时与小车右端挡板相撞,设相撞前瞬间物块的速度为v0,由牛顿第二定律得0,解得物块与小车碰撞时间极短,静电力远小于撞击力,故可认为在水平方向上动量守恒,则mv0=mv1+Mv2,由题意知,解得因此碰后,物块向左以的初速度在静电力作用下做匀减速运动,当其对地速度减为零时,又在静电力作用下向右做匀加速运动,直到物块向右的速度与小车向右的速度相同时,小车右端与物块间的距离最大。设物块此时相对碰时位置向左的位移为x1,小车向右的位移为x2,则,式中解得所用的时间故因为x1+x2=L＜1.5L,所以物块不会滑出小车车面。

(2)设物块由相对小车静止(即与小车有共同速度v2)到与小车右端挡板第二次碰撞所需时间为t',由几何关系及匀加速直线运动公式得式中x=v2t'为小车在t'时间内的位移,解得t'=所以物块与小车右端挡板第二次碰撞前物块的速度

相对位移法:(1)同理得,即碰后物块反弹,先向左后向右做匀变速运动,当其速度与小车向右的速度相同(相对速度为零)时,小车右端与物块间的距离最大。由可得,解得x相=L＜1.5L。因此物块不会滑出小车车面。

(2)之后物块继续加速运动,小车匀速运动,物块与小车第二次碰撞前与发生第一次碰撞时二者发生的位移相等(相对位移为零),则(这是第一次碰撞后的速度,舍去)。

图6

图像法:(1)同理得在同一坐标系内作出物块与小车运动的v-t图像,如图6所示,当物块的速度与小车的速度相同时,小车右端与物块间的距离最大。由几何知识得△AOB≅△GDC,S△AOB=L=S△GDC,x相=L＜1.5L。因此物块不会滑出小车车面。

(2)物块与小车右端挡板第二次碰撞前与发生第一次碰撞时二者发生的位移相等(相对位移为零),即S△FED=L。所以△GCD≅△FED,由几何知识得v3=v2+