应用能量观点解决动力学问题

2018-09-28湖南省汨罗市第一中学周辉林

中学生数理化(高中版.高考理化) 2018年9期

■湖南省汨罗市第一中学周辉林

利用动能定理、机械能守恒定律、能量的转化和守恒定律来分析动力学问题,称之为应用能量的观点分析求解动力学问题。若题目没有涉及加速度和时间,则无论是恒力做功还是变力做功,不管是直线运动还是曲线运动,动能定理均适用。当只存在动能、势能的相互转化时,则应用机械能守恒定律。当存在除机械能以外的其他能量时,则应用能量的转化和守恒定律。

一、动能定理的应用

例1我国将于2022年举办冬奥会,跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图1所示,质量m=60kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a=3.6m/s2匀加速滑下,到达助滑道末端B时的速度vB=24m/s,A、B两点间的竖直高度差H=48m。为了改变运动员的运动方向,在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接,其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h=5m,运动员在B、C两点间运动时,阻力做功W=-1530J,取g=10m/s2。

图1

(1)求运动员在滑道AB上下滑时受到阻力f的大小。

(2)若运动员能够承受的最大压力为其自身重力的6倍,则C点所在圆弧的半径R至少应为多大?

解析:(1)运动员在滑道AB上做初速度为零的匀加速运动,设滑道AB的长度为x,则,解得x=80m。由牛顿第二定律得,解得

(2)设运动员到达C点时的速度为vC,则运动员在从B点运动到C点的过程中,由动能定理得解得vC=25m/s。设运动员在C点所受的支持力为N,由牛顿第二定律得N-mg=由题意和牛顿第三定律得N=6mg。联立以上各式解得R=12.5m。

思维方法:利用动能定理时,需要先确定研究对象,做好受力分析和过程分析,再判断哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功、哪些力做负功,然后确定总功及初、末状态物体的动能,最后列动能定理方程求解。

二、机械能守恒定律的应用

图2

例2如图2所示,由四分之一圆弧AB和二分之一圆弧BC组成的光滑轨道固定在竖直平面内,两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R,BC弧的半径为。一小球从A点正上方与A点相距处由静止开始自由下落,经A点沿圆弧轨道运动。

(1)求小球在B、A两点的动能之比。

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

解析:(1)设小球的质量为m,小球在A点的动能为EkA,由机械能守恒定律得EkA=mg·。设小球在B点的动能为E,同理kB得

(2)若小球能沿轨道运动到C点,则小球在C点所受轨道的支持力N应满足N≥0。设小球在C点的速度大小为vC,由牛顿第二定律和向心力公式得解得在小球从开始下落至到达C点的全过程中,由机械能守恒定律得mg·解得因此小球恰好可以沿轨道运动到C点。

思维方法:利用机械能守恒定律时,需要先确定研究对象,做好受力分析和过程分析,再判断是否符合机械能守恒的适用条件,然后选取初、末状态并确定初、末状态的机械能,最后列机械能守恒定律方程求解。

三、能量的转化和守恒定律的应用

图3

例3如图3所示,固定斜面的倾角θ=30°,物体A与斜面间的动摩擦因数轻弹簧下端固定在斜面底端,弹簧处于原长时其上端位于C点。用一根不可伸长的轻绳跨过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B,滑轮右侧的轻绳与斜面平行,物体A的质量为2m,物体B的质量为m,初始时物体A到C点的距离为L。现给物体A、B一初速度使物体A开始沿斜面向下运动,物体B竖直向上运动,物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点。已知重力加速度为g,不计空气阻力,整个过程中轻绳始终处于伸直状态,求:

(1)物体A向下运动刚到C点时的速度。

(2)弹簧的最大压缩量。

(3)弹簧的最大弹性势能。

解析:(1)物体A与斜面间的滑动摩擦力f=2μmgcosθ,物体A在从初始位置向下运动到C点的过程中,根据能量的转化和守恒定律得解得

(2)在物体A刚接触弹簧到将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点的整个过程中,对由物体A、B组成的系统应用动能定理得解得

(3)在弹簧被压缩到最短到恰好能弹回到C点的过程中,对由物体A、B组成的系统应用能量的转化和守恒定律得Ep+mgx=2mgxsinθ+fx,解得

思维方法:利用能量的转化和守恒定律时,需要先确定研究对象,做好受力分析和过程分析,再明确有哪些力做功,做功的结果是导致了何种形式的能量相互转化,然后建立ΔE增=ΔE减的关系求解或讨论。