浅析泰勒公式的授课新方法

戚爱玲 鞠学伟

摘要：本论文从洛必达法则的一个例题引入，通过推理猜想的方法顺其自然地得到了泰勒中值定理。希望这种新的授课方法能够解除学生对泰勒公式的疑惑和恐惧。

关键词：多项式；余项；洛必达法则；中值定理

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）36-0203-02

泰勒公式作为高等数学微分学的教学重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教学工作者进行研究。而泰勒中值定理及泰勒公式的抽象深奥，确会让大多数学生不知所云、莫名其妙，虽经充分预习、认真听课，仍会感觉一头雾水、疑问重重。难、不懂、不理解是学生学完泰勒公式的主要感觉，而作为传道授业解惑的老师，总希望能改变这一现象，希望泰勒公式给学生留下最深刻的印象是好、有用、会用。因此，这节课的讲授需要老师投入更多的精力去设计其教学方法和教学思路。

一般的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为教学重点和难点。但是这样的教学效果并不是很好，为此，我在教学过程中尝试改变教学思路，将问题的提出和泰勒公式的引入作为教学的重点，从最自然、最易于接受的例题开始，引入本节课的学习，具体教学设计如下，上节课我们学习了洛必达法则，并且利用洛必达法则，我们证明了这样一个结论：

例：设函数f（x）在x=x 处存在二阶导数，试证：

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +o（x-x ） .

大家还记得吧？这是上节课的一个例题，等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。我们回顾一下它的证明。通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x 处可微，则

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+o（x-x ）.

这说明如果函数f（x）在x 处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x 的高阶无穷小；如果函数f（x）在x 处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x ） 的高阶无穷小；如果函数f（x）在x 处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x 处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x ） 的高阶无穷小。这个结论叙述出来就是：如果函数f（x）在x=x 处存在三阶导数，则

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ） +o（x-x ） .

只是这个三次的多项式三次项的系数分母是3！，除此之外，上式都在意料之中。而我们立马对猜想得到的结论做一个严格证明。

证明：为了方便起见，我们把等式右端三次的多项式记为p （x），即

p （x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） + （x-x ）

对于结论的正确性我们只需要验证

=0

而通过简单的计算可知，

p （x ）=f（x ），p′ （x ）=f′（x ），p″ （x ）=f″（x ），p？苁 （x ）=f？苁（x ），

所以，用两次洛必达法则，我们得到

= = ，

到了这里就不能再用洛必达法则求极限了，因为，我们只知道函数f（x）在x=x 处存在三阶导数，即函数f（x）在x 的邻域内二阶导函数连续，在x 的邻域内是否存在三阶导数不知道，所以不再满足洛必达法则的条件，但是对于上式极限，我们只需要对二阶导函数应用导数的定义就能得到

= - = f？苁（x ）-p？苁 （x ）=0这就证明了我们猜想的结论正确。

现在，我们再总结一下得到的结论：如果函数f（x）在x 处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x 的高阶无穷小；如果函数f（x）在x 处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x ） 的高阶无穷小；如果函数f（x）在x 处有三阶导数，则f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x ） 的高阶无穷小。好，按照这种规律，一般情况下，如果函数f（x）在x 处有n阶导数呢？学生一定会毫不犹豫地齐声回答：那么f（x）就等于一个n次的多项式加（x-x ） 的高阶无穷小。这就是泰勒中值定理的第一个定理：

泰勒中值定理1：如果函数f（x）在x=x 处存在n阶导数，则

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） +o（x-x ） .我们把高阶无穷小项称为余项，称o（x-x ） 为佩亚诺型余项，表示f（x）和n次多项式的差，因此也称为误差项。当x和x 靠得很近时，o（x-x ） 是非常小的一项，所以，我们可以用n次多项式近似表示f（x），但是这种近似表示的误差只是（x-x ） 的高阶无穷小，具体小到多少，我们不能量化，也就是说佩亚诺型余项只是一个定性的表示，不能量化，那我们能不能得到一个定量的误差项呢？只要对函数f（x）的要求加强一点点，就得到了一个可以量化的误差项，这就是泰勒中值定理的第二个定理：

泰勒中值定理2：如果函數f（x）在x 的邻域内存在n+1阶导数，则

f（x）=f（x ）+f′（x ）（x-x ）+ （x-x ） +…+ （x-x ） + （x-x ） ，其中ξ介于x和x 之间，我们把余项 （x-x ） 称为拉格朗日型余项。

这样我们就引入了泰勒公式，这是非常重要的一步，然后就可以按照平常教材的安排，进一步介绍麦克劳林公式、常见函数的麦克劳林公式、泰勒公式的应用、举例等等。

总之，泰勒公式的教学目标是要求学生理解泰勒公式并了解其应用，然而，对于刚步入大学的学生而言，许多大学生并没有转变好角色，适应大学的思维方式，他们对抽象深奥的泰勒公式及泰勒中值定理的学习变现出畏难情绪。学生在学完之后，并不能理解其意义所在，往往不知所云。用这种方式引入泰勒公式，学生对泰勒公式的理解及记忆非常清楚，再没有难的感觉。在实际教学过程中，已经用这种方式介绍了泰勒公式，反应非常好。希望这种教学方法能够推广，以增强学生的学习兴趣，提高教学效果。

参考文献：

[1]张建军，纪祥鲲.泰勒公式的教学设计研究[J].科技创新导报，2014，（25）：14-165.

[2]雷庆祝.泰勒公式的教学方法探讨[J].中国科教创新导刊，2009，（32）：94-94.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014.