四点共圆问题在几何解题中的应用

摘 要：四点共圆问题在几何解题中具有广泛性和灵活性的特点，通常情况下，题目中不会明确说明需要用到四点共圆的知识。因此解答这类问题时需要学生灵活地开动脑筋，这也是这一类问题备受各种竞赛和考试命题者青睐的原因。本文首先给出四点共圆的性质和判定定理，然后举例说明了不同情况下利用四点共圆来解题的思路。

关键词：四点共圆；几何问题；解题思路

一、 四点共圆在几何证明中的一般解法

在几何证明题中，想要证明一个平面上四点共圆，首先是要找到需要证明的是哪四个点，然后將这四个点顺次连接，得出一个四边形，再根据这个四边形的特点和题目中给出的条件选择最优的解题思路；除此之外，对于一些常见的基本图形，要能做到见图知形，熟练地掌握这些基本图形的性质，这样在解题的时候才能做到游刃有余、得心应手。

二、 两种经典四点共圆问题的解法

方法1：将要证明共圆的四个点连接成两个同侧的共底边的三角形，如果我们可以证明出这两个三角形的顶角相等，我们就可以肯定，这四个点是共圆的。这句话也可以理解为：如果一条线段同侧的两个点与这条线段连成的两个夹角相等，那么我们就可以说这两个点与这条线段的两个端点四点共圆。

【例1】 在△ABC中，AB

分析：这道题没有明确指出这是一道与四点共圆有关的问题，需要学生自己去发掘题目的隐藏信息。通过观察图1我们可以发现，图中出现的三角形都位于线段的同一侧，而且题目中给出了两个相等的角，由此我们可以联想到四点共圆的判定定理3，在此推测的基础上，进行题目的解答，目标就会比较明确。

图1

证明：如图1所示，取AC的中点F，分别连接EF、DF（几何证明中常用的辅助线做法）。

∵E、F分别是BC和AC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴有EF∥AB，∠AEF=∠EAB ①

又∵∠BAD=∠EAC（与题目中所给条件相联系）

∴∠EAB=∠DAC ②

∵AD是△ABC上BC边的高，

∴△ADC是一个直角三角形

∴DF=AF，∠ADF=∠DAC。

再结合①和②，可得∠ADF=∠AEF，（出现同一侧的两个角相等），

即A、D、E、F四点共圆（依据：四点共圆判定定理3）。

∴∠AFE=180°-∠ADE=90°，

继而得出∠BAC=180°-∠AFE=90°。

方法2：由四点共圆的判定定理：当一个平面上四个点连成的四边形对角互补，那么这四个点共圆。由此我们可以得出这样的解题思路：把要证明共圆的四个点，连接成一个四边形，如果我们可以证明这个四边形的对角互补，我们就可以肯定这四个点共圆。

图2

【例2】 如图2所示，在Rt△ABC中，AC

分析：本题的第一小问就涉及了四点共圆的判定和应用，通过读题我们发现：题目中出现了相切和直角三角形，两个90°是互补的情况，而且这两个角没有紧挨着，所以很可能在一个圆里是一组对角的位置关系。由此我们很容易联想到上文所说的定理1，基于这样的推测，我们开始按照这个思路解题。

DE与AG的位置关系：DE∥AG；

证明：∵⊙O与边AB相切于E点，

∴∠AEG=90°，

又∵∠ACG=90°

∴∠AEG与∠ACG互补，

∴A、E、C、G四点共圆（定理1）

∴∠AEC=∠AGC（同一圆弧所对的圆周角相等）。

又∵AB是⊙O的切线，

∴∠AEC=∠EDC，

∴∠AGC=∠EDC，

∴DE∥AG。

有关圆的知识在几何证明中具有非常重要的地位，很多定理的证明也用到了圆的一些知识。在初中阶段，四点共圆这一知识点在圆这一部分内容中具有非常重要的地位，尤其是在几何证明中，利用四点共圆知识的题型非常多，而且一般有一定难度。因此，对于中学生来说，用好四点共圆具有非常重要的意义。

参考文献：

[1]刘合财.四点共圆的判定及其应用[J].贵阳学院学报（自然科学版），2013，8（01）：24-27.

[2]孙志东.用“四点共圆”解题几例[J].中学生数学，2018（08）：17-19.

作者简介：

李华平，安徽省合肥市，安徽省合肥市第五十五中学。