从“初始意念”走向“思维构建”

卓元 姚超

[教学内容]苏教版小学数学四年级下册55～56页

[教学目标]

1.学生在经历探索加法运算律的过程，理解并掌握加法交换律与加法结合律，能运用它们进行解决一些实际问题。

2.学生在探索发现加法运算律的过程中，培养学生比较与发现、抽象与概括、归纳与类比等能力，以及提高解决问题的能力，发展运用意识与符号意识。

3.学生在参与探究的过程中，形成独立思考的意识与习惯，从而获得学习成功的体验，感受到学习数学的价值，增强对数学学习的自信心与兴趣。

[教学难点]用自己的话概括出运算律并用字母表示。

[教学重点]在探索中经历运算律的发现过程，理解算式间相等关系，发现和概括规律。

[教学过程]

一、“朝三暮四”，初感规律

师：同学们喜欢看动画片吗？

生：喜欢！

师：今天老师带来一个好看的动画片，想不想看？

生：想看。

师：但是看动画片儿是有要求的：一要认真地看，了解动画片当中的内容；二看完后要积极回答老师提出的问题。（播放视频《朝三暮四》动画故事，学生认真观看动画片）这个养猴人，原来每天早上给猴子几颗橡子吃？

生：3颗（师板书：3）

师：原来每天晚上给猴子几颗橡子吃？

生：4颗（师板书：4）

师：这一天给猴子一共多少颗橡子吃？

生：7颗（师板书：7）

师：也就是3+4=7（师板书：3+4=7）。后来，这个养猴子的人，每天早上给猴子几颗橡子吃？

生：4颗（师板书：4）

师：后来每天晚上给猴子几颗橡子吃

生：3颗。（师板书：3）

师：现在每只猴子一天共吃几颗？

生：7颗。（师板书：7）

师：也就是4+3=7（师板书：4+3=7），猴子一天吃的橡子总数变没变？

生：没有变。

师：这（指3+4=7）一个算式，结果是几？

生：是7。

师：这（指4+3=7）个算式结果是几？

生：是7。

师：他们的结果都是多少？

生：都是7。

师：大家看看，能不能写成这样的等式？3+4=4+3（板书：3+4=4+3）

生：可以。

【设计说明】“朝三暮四”的故事，意指人说话办事反复无常等，但这里把它借用过来作为一种给学生数学学习的特别材料。从早上3颗、晚上4颗，到变成早上4颗、晚上3颗，其实这一天猴子吃的总数始终是7颗不变。对于猴子来说关注点是吃的多与少的问题，而对于四年级的学生来说，在心理会存有疑问：“朝三暮四”的故事与数学学习有什么关系呢？这就给学生一种想破解自己心中谜团的心理，在这种欲望心理的驱动下，学生也就会顺理成章地进入探究运算律的“围城”，在“围城”里会不停地探索而去满足自己的心理存疑“欲望”。

二、制造悬疑，探索规律（加法交换律）

师：大家看这个式子（指3+4=4+3）的等号两边，左边结果是多少？

生：7。

師：右边呢？

生：7。

师：通过计算这两个式子的结果都是7，所以这两个式子可以用等号连起来。你能写出像这样等号两边相等的式子吗？

生：能。

师：学生写，教师巡视。通过刚才的巡视，老师发现大家都可以顺利地写出来，并且写得十分正确。（教师请一名学生起来说说写的式子）

生：7+8=8+7（师板书）

师：正确，谁接着说。

生：6+9=9+6（师板书）

师：再找一名同学说说。

生：5+8=8+5（师板书）

师：像这样的等式还有没有？

生：有。

师：老师就不再请你们一个一个地说了。这是一位数加一位数的情况，想一想，两位数加两位数能不能写出这样的等式？

生：能。

师：能，就写一个呀（学生写，教师巡视）。

生：23+48=48+23（师板书）

师：请小A同学来说说。

生：69+82=82+69（师板书）

师：请小B同学来说说。

生：27+58=58+27（师板书）

师：凡是写好的请举手（学生举手），大家都写了出来，说明这样的等式是不是有很多很多呢？

生：是的（板书……）。

师：三位数加三位数能不能写成这样的等式呢？

生：能。

师：能，就写呀（学生写，教师巡视）。

生1：126+547=547+123

生2：323+874=874+323

生3：999+111=111+999

生4：745+192=192+745

师：这样的等式能不能写完呢？

生：不能（板书……）。

师：两位数加三位数能不能写出这样的等式呢？图（1）

生：能。

师：能，就写呀（学生写，教师巡视）。

生1：25+137=137+25。

生2：872+66=66+872。

师：像这样的等式还有没有？

生：有（板书……）。

师：0加一个数能不能写出这样的等式？

生：能。

师：能，就写呀（学生写，教师巡视）。

生1：0+29=29+0

生2：222+0=0+222

师：这样的等式还有没有？

生：有（板书……）。

师：老师发现，这些都是0、一位数、两位数、三位数相加的情况。你们以前有没有认识过小数？

生：认识过。

师：小数加小数，能不能写成这样的等式呢？

生：能。

师：分数加分数，能不能写成这样的等式呢？

生：能。

【设计说明】我们知道，学生对“数”是十分熟悉的，所以用“数”写成的等式学生顺手拈来，无论是几位数加几位数，在一位数加一位数的基础上，会毫无疑虑写下许多两个数相加的等式，并且在写下来的时候，内心充满了喜悦，自信地确保正确。同时展现在学生面前的不仅仅是许许多多两个数相加的情况，而且也展现了两个数相加的不同种类，在学生的潜意识里播下了比较、观察、概括、归纳的种子，为下边提炼规律埋下伏笔。

师：无论0，还是整数、小数、分数都是用数写成这样的等式。如果不用数，用汉字行不行？

生：行。

师：用图形行不行？

生：行。

师：行，就写呀（学生写，教师巡视）。

生：△+○=○+△（教师板书）。

师：她用△表示一个加数，用○表示另一个加数，于是就有△+○=○+△。还有吗？

生：A+B=B+A（教师板书）。

师：用A表示一个加数，用B表示一个加数，于是就有A+B=B+A。还有吗？

生：甲+乙=乙+甲（教师板书）。

师：他用甲表示一个加数，用乙表示一个加数。于是就有甲+乙=乙+甲。还有吗？

生：拼+搏=搏+拼（教师板书）。

师：他用拼代表一个加数，用搏代表一个加数，于是就有拼+搏=搏+拼。还有没有其他的？

生：有（板书……）

【设计说明】上边教学中用“数”来表示相等的式子，此时用“如果”来转折，把学生引入了一个“五彩缤纷”的世界，写成这样的等式用数可以，用图形、字母、汉字同样可以。这为学生下边使用不完全归纳法，提炼出加法交换律做好有效的奠基。

师：同学们观察这些式子。等号的两边比较一下，你有什么发现呢？先想一想，想好了在小组里交流。（学生先观察、比较、思考。并在小组里交流，教师巡视倾听）

生1：他们那个加数的位置前后变了，前边的变到后边了，后边变到前面了。

生2：等号两边式子的数没变，只是位置变了，但和没有变。

师：也就是（边说边板书）“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”是不是？

生：是的。

师：你（指一名学生）来说说你的发现。

生：他们只是交换了加数的位置，和没有变。

师：大家的发现和他们发现有不一样的吗？

生：没有。

师：两个数相加，交换加数的位置，和不变，这就是加法交换律（板书）。在数学里一般用a、b两个字母表示两个加数，加法交换律可以写成——

生：（齐说）a+b=b+a（板书）

师：同学们真的了不起呀，从“朝三暮四”的一個动画故事，像数学家一样探究出了加法交换律。

【设计说明】教师的任务不在于教知识，而在于教智慧、教思想。一个智慧的人，思想有多远，才能走多远。“加法交换律”的古人思想雏形就是“朝三暮四”，养猴人只是交换了加数的位置，让猴子变得欣喜起来。从“朝三暮四”的故事起，一步一步地引导学生累积大量的不同类型的实体习题，这时学生心理发生瞬间的灵感，那么多的等式加数不变，只是交换位置的例子，从中会有什么规律吗？它们的和不变，只是交换了位置，这是什么规律呢？这时通过比较与发现，会用自己的语言概括出加法交换律的实质：交换加数的位置，和不变。这不完全归纳法给学生一种数学学习的思想，即在万千的事物中去比较与发现事物的共同本质特征，并利用这种本质特征去化解生活中的实际问题。让学生在探索经历中得到成功、快乐，得到发现的惊诧感到数学的学习是轻松的、是快乐的、是有兴趣的，增强了学好数学的信心。

三、顺水推舟，促生规律（加法结合律）

师：刚才从两个加数相加的情况中探究出加法交换律，如果两个以上的数相加，会有什么规律呢？（出示图1）

我们学校将举行跳绳、踢毽子比赛，每个班级都要组队参赛，我们先选拔出男生28人去跳绳，女生17人去跳绳，女生23人去踢毽子，参加活动一共多少人？你会算吗？

生：会。

师：会列算式吗？

生：会。

师：会，就列呀（生列算式，教师巡视）。

生：28+17+23。

师：你们会脱式计算吗？

生：会呀。

师：那就开始算吧（学生计算，教师巡视，从中找出两名不同算法的学生待板演），现在老师请两名学生到前边进行计算。

生1：28+17+23 生2：28+17+23

=45+23 =28+（17+23）

=68（人） =28+40

答：参加活动一共68人 =68（人）

答：参加活动一共68人

师：请听听他们是怎样计算的。

生1：我是先算出跳绳一共有多少人，再用跳绳的人数加上踢毽子的人数，就得到一共有68人。

生2：我是先算出女生一共多少人，用男生的人数加上女生的人数，就得到一共有68人。

师：由此，我们得知相同的算式有不同的计算方法，无论是用什么方法他们的结果都是多少？

生：68。

师：既然都是68，你们看可以写成这样〔板书：（28+17）+23=28+（17+23）〕的等式吗？

生：可以。

师：我们通过计算得出结果相同，但算法不同。（出示图2）先计算，再填空。

师：通过计算得知（45+25）+16是多少？

生：86。

师：通过计算得知45+（25+16）是多少？

生：86。

师：两边都是86。那么○里能不能填等号？

生：能。

师：这一题〔指（39+18）+22○39+（18+22）〕呢？

生：也是填等号。

师：根据我们探索加法交换律的经验，像这样的等式还有吗？

生：有。

師：我们根据这几组等式，仔细观察等号左边和右边，通过对比你有什么发现？想一想，想好了在小组里交流（教师巡视倾听）。三个数相加，怎么样？

生1：三个数相加，可以先算前两个，也可以先算后两个，和不变。

生2：无论是先算前面两个，还是先算后边两个，他们的和是不变的。（板书：三个数相加，可以先算前两个加数，也可以先算后两个加数，它们的和不变。这个规律叫作加法结合律）

师：如果用a、b、c三个字母表示三个加数，能用字母表示这个规律吗？

生：（a+b）+c=a+（b+c）。

师：在古代就有人把加法结合律的思想运用到战争当中，请大家体会是如何运用的（播放视频《远交近攻》动画片）。

【设计说明】经过上一个规律的探索，学生具有了相应的探索心理基础。此时学生会想，这是三个数相加的情况，刚才两个数相加是交换位置，这里位置没有交换，而是添加了括号确定先算与后算的问题，学生思维中会瞬间一闪，无论是先计算谁和都是不变的，加法结合律的雏形就在学生心里烙下了印。这时教学无需再举众多的实体习题，加法结合律的得出就水道渠成了。这样，作为学生的思维长出了翅膀，凸显了学生的主体地位，在顺手推舟中积累发现和提出问题的经验，发展了学生的数学思维能力，提升了学生的数学素养。但这里有一个忌讳，17与23的结合“凑整”会误入“简便”之途，这里只谈“结合”不聊“简便”，否则会使教学越位超前，削弱了例2的教学。

四、变式练习，再识规律

1.用线连出左右相等的式子

75+542 342+0

（69+37）+63 （75+25）+123

0+342 542+75

75+（25+123） 69+（37+63）

2.运用加法运算律填空

96+○=○+96 A+○=0+○ X+Z+K=（○+○）+Z

○+598+156=○+244+○ C+d+55=d+○+○

3.○里填入哪些数可以使计算方便

（36+○）+67=36+（○+67）

（先由学生完成，然后师生共同讲评）

【设计说明】习题的内容不多，主要是对运算律理解与巩固进行设计的，但内容涵盖了多种类型，正因为类型多从某种意义上来说，是对于加法运算律的逆向思考。正因为有正有逆，加法运算律在学生的思维中扎下根，再运用其解决问题才得心应手。

五、总结内容，强化规律

萧伯纳说：你有一个思想，我有一个思想，我们相互交流一下，每个人都有两个思想，或两个以上的思想。今天老师和大家共同研究出加法的两个运算律，你对学习数学有什么感想、感触呢，请说说吧。（教师提问，学生表述）

六、延伸思考，拓展规律

师：加法有加法结合律、加法交换律，乘法当中有没有乘法交换律、乘法结合律呢？

生：有。

生：没有。

师：到底有没有呢？在课后写下你的猜想并举例验证你的猜想是不是正确。

【设计说明】一节教学内容的结束并不是真正的结束，在一个终点的同时又是一个新的起点开始，所以要教给学生一个数学结论探究的“魔法棒”，让他们仿照加法运算律的探究过程，去通过大量的实体习题，验证自己的猜想，学生就会生长出一对高飞的翅膀，今后每每遇到疑问会先去猜想再去举例最后验证猜想，有时候猜想不一定正确，但可以导致一个更好猜想的发生。

（责任编辑：李雪虹）