条子图之含“双比”的应用题

刘善娜

【教学时机】

人教版六年级上册分数除法单元学习后。“双比”应用题，是指问题中含有两个“比”的应用问题。

【教学目标】

1.通过画包含两个相关比的应用问题的直条图，从“份数”视角进一步理解“比”。比与分数可以转化，深度理解比，也有利于形成更简捷合理的分数问题解题策略。

2.掌握较为直观的直条图的基本画图技巧，为后续分析理解较难的应用问题打下基础。

【教学过程】

一、理解“比的转化”

出示题目：甲∶乙=5∶3 ，乙∶丙=4∶3。甲∶乙∶丙=？

师：这两个比中的谁是不变的？如何统一、转化？

小结：为了清楚哪个份数不变，需要统一成一样的份数，我们可以把它圈一下。板书：

【设计意图：两个相关的比的转化，是画比问题的相关条子图的重要知识基础。如果学生基础不扎实，可以多练几题。】

二、典型问题形成技能：其中一个量不变

2.师生交流，示范作图。

师：这道题的正确率有些低。如果想掌握更简单的方法来攻破这类题，就请同学们跟着老师一步一步地画图。

【设计意图：这类单位“1”变化的分数问题，学生会感到有一定的难度，正确率很低。即便通过分数问题的方法去找“量率对应”来解决这类问题，学生也觉得非常抽象，不容易理解。因此在学生解答后，教师快速核对答案、统计正确率，激发学生寻求比“量率对应”更简单的解题方法的需要。】

问1：画图时要先把已知的信息画出来，这个问题中你能看到两个比吗？先画7∶5，男生∶女生。再画第二个比，也是男生∶女生，是9∶7。两个比中，有人数相同的或者说没有发生变化的份数吗？

小结：男生人数没有变化，所以“9”和第一个比中的“7”一样长，代表的是一样多的男生人数。女生人数要比原来的长一些，因为多了“12人”。

问2：两个比中有相同的量，能否把相同的量转化成相同的份数？

问3：现在，你可以从图上看到女生“份数”的变化吗？

生：女生人数从45份变成49份，多了4份，多了12人，1份就是3人。男生有这样的63份，就是63×3=189（人）。

问4：在两个比的应用题中，画条子草图的关键是什么？

小结：找到两个比中相等的或者不变的量，转化成一样的份数，就能从图中算出1份是多少。

【设计意图：这类含两个比的应用问题，属于比中的其中一个量发生了变化，总量也发生了变化，要利用不变的量转化两个比，学生就能在条子图上清楚地看到“份”的变化，从而求出“1份”的量。从直观出发，强调“不变的量”。】

3.尝试，训练。

（1）某班女生人数与男生人数的比是4∶5，最近又转来一名女生，结果女生人数是男生人数的现在全班有学生多少人？

4.方法小结。

在两个比的应用问题中，画条子图的步骤为：找到不变的量，长度对齐→转化比，使不变量的份数相同→观察变化的份数。

【设计意图：第（1）小题完全是模仿性训练，在交流反馈后进一步归纳作图方法，强调画出“不变的量”；第（2）小题需要转化一步，通过找出“不变的量”是女生人数进一步感受找“不变的量”来作图的基本策略。】

三、典型问题形成技能：两个量的总量不变

1.呈现问题：修一条公路，已修的与剩下的比是1∶3，再修 30 千米，已修的与剩下的比是 2∶3，这条公路长多少千米？

师：两个比中，什么量不变？

小结：已修的和剩下的都在变，总数“一条公路的总长”才是不变的。两个比的变化问题，可能是其中一个量不变，也可能是总量不变。

【设计意图：六年级学生要学会分析问题的特征，分析相关问题的异同。因此，呈现略有变化的题型时，要多让学生说说有什么变化，了解一类问题的类型有哪些，做到心有问题的“全局结构”。】

2.师生交流，逐步成图。

核心问题：什么量不变？（把不变的圈起来）怎么转化？

3.模仿跟进。

（2）两块一样重的铜锌合金，第一块铜与锌的比是1∶4，第二块铜与锌的比是3∶4，把它们合成一块，铜与锌的比是多少？

【设计意图：第（1）小题是模仿性训练，与例题一致，仍然强调画出“不变的量”，再转化；第（2）小题不变的总量以“相等”的形式出现，略有变式。画图策略上没有变化，继续训练技能。】

4.再次回顾方法。

四、全课总结

师：关于画这类条子图，你有什么收获？

【教学建议】

两个比的应用问题，是分数应用题的一种。教师可以从“份数”的角度切入，利用画条形图所必须思考的“谁与谁对齐，一样长”的问题，将核心问题从隐性切换到显性，从“量率对应”的抽象走向“几份变成几份”的直观。在实际教学中，有两点建议：

一、教学“比”的概念时，强调“份数”意义

认识“比”的时候，要让学生更多地认识其“份数”的意义。在学生掌握比的概念后，可以将原来较为简单的分数问题转化成比的应用问题，不要将比的应用局限在“按比例分配”问题。

二、后续再加一个课时，对比沟通“分数问题”与“比的问题”的画法、解法

画数学课程中有“画线段图解决较复杂的分数问题”一课。当学生学完含两个比的应用问题后，后续需要再跟进一课时，关注分数典型问题和比的应用问题的沟通，对比线段图和条子图，发现其中的联系和差异，有助于学生掌握灵动的、联通的解题策略，而不是就题论题，就类型画图。