基于LED扩展光源环形均匀光斑的自由曲面透镜设计

梁文跃，李远兴，凡利娟，王奇生，龙拥兵

（1.五邑大学数学与计算科学学院，广东江门529020；2.五邑大学应用物理与材料学院，广东江门529020；3.华南农业大学电子工程学院，广东广州510642）

发光二极管（LED）被称为第四代照明光源或绿色光源，具有节能、环保、寿命长、体积小等特点，广泛应用于各种指示、显示、装饰、背光源、普通照明和城市夜景等领域.但是，LED光源的光强分布通常为朗伯型或者近似朗伯型[1-3]，不能满足实际场合的照明需求，因此不能直接应用，必须利用光学设计来调控光线分布.

光学设计方面的研究主要集中在如何实现圆形光斑和矩形光斑等，针对环形光斑的研究并不多.R.M.Wu等[4]利用2LMonge-Kantorovich理论设计了基于点光源的自由曲面透镜，实现了明暗多环的照度分布；D.Zeng等[5]利用光学扩展量守恒理论设计了基于点光源的单个透镜及透镜阵列，实现了符合环岛道路照明设计标准的环形光斑分布；S.C.Shen等[6]利用傅里叶级数和能量映射方法设计了基于点光源多环照度分布的透镜，可应用于LED钓鱼灯.然而，在目前的环形光斑设计算法中，大多数算法都是基于点光源设计而非扩展光源.

针对上述问题，本文提出了基于贝塞尔曲线多参数优化自由曲面透镜的方法：利用点光源算法设计了自由曲面透镜轮廓线；在该轮廓线上等弧长选取51个点，将选取的控制点作为优化变量，构建贝塞尔曲线为优化前的初始模型；针对具有一定尺寸的扩展光源，利用优化算法对控制点进行优化，得到最优的自由曲面模型.利用光线追迹软件模拟该透镜的光学性能，判定本文方法的有效性.

1 基于点光源的自由曲面透镜设计

根据环形均匀照度分布的设计要求，基于点光源的自由曲面透镜的设计过程如下.

1.1 构建光源、自由曲面和目标平面的对应关系

图1 自由曲面透镜设计图

由于设计的环形均匀照度分布是轴对称的，相应的自由曲面透镜也是轴对称结构，因此只需设计自由曲面透镜的二维剖面轮廓线.设点S为光源位置，自由曲面剖面轮廓线上离散点为，其中点对应的入射光的角度为θi，出射光的角度为ui；目标平面上任一点为对应的入射光线经由点偏转后出射的位置，其对应的入射光线矢量为，入射光线单位矢量为，出射光线矢量为，出射光线单位矢量为.由Snell定律可得在点A处的单位i法线矢量为Ni且有：

式中，n为透镜的折射率.

在点Ai处的单位切线矢量为

其中yi=xi·ctgθi，则

联立式（2-3）可得

通过式（4）可以构建光源、自由曲面和目标平面之间的对应关系.

1.2 构建光源与目标环形光分布的能量映射关系

假设理想点光源为朗伯型分布，根据能量守恒定律可得光源与目标平面环形均匀照度分布之间的映射关系：

其中，E(r)为目标平面环形照度分布，Rout和Rin分别为目标平面上环形光斑分布的外半径和内半径，I0为光源光轴方向的发光强度.

因此，目标平面上任一点Ri与入射光角度θi的关系为：

出射光角度ui与入射光角度θi的关系为：

1.3 求解离散点构建自由曲面

联立式（4）、（6）、（7）构建微分方程，并利用差分法、欧拉法或者龙格库塔法等方法，可以求解出入射角度θi和自由曲面上的离散点.根据自由曲面轮廓线上所有离散点的位置数据集合即可构建基于点光源的自由曲面透镜模型.

2 贝塞尔曲线构建与自由曲面优化

为解决扩展光源带来的光能利用率降低以及目标光分布劣化等问题，提出了贝塞尔曲线控制点多参数优化点光源自由曲面透镜模型的方法，设计基于扩展光源的环形均匀照度分布，优化后的贝塞尔曲线即为自由曲面透镜的轮廓线.

图2 控制点构建贝塞尔曲线

贝塞尔曲线的函数表达式为[8]：

其中，点Pi称作贝塞尔曲线的控制点，n阶的伯恩斯坦基底多项式为：

如图2所示，在利用控制点约束贝塞尔曲线构建自由曲面轮廓线的过程中，0P控制自由曲面顶点的高度，Pn控制自由曲面底部的宽度，其他控制点决定自由曲面轮廓线的形状.

以贝塞尔曲线的控制点作为优化变量，采用下山-单纯形算法或模式搜索法等优化算法进行计算.为了评价优化计算的最终结果，以目标照度分布和实际照度分布之间的离差平方和构建优化的评价函数为：

其中，Wi为每一个评价点的权重值，Vi和Ti为每一个评价点以当前光通量归一化后的当前数值和目标数值.

随着优化计算过程的进行，评价函数MF趋向于一个稳定的最小值，目标照度分布与预期分布偏差最小，这时由优化后的控制点构建的贝塞尔曲线即为最优的自由曲面透镜轮廓线.

为了评价目标照明区域内的照度均匀度，设Eavg和Emax分别为目标区域内的平均照度和最大照度，则照度均匀度为可定义：

3 环形光斑自由曲面透镜设计实例

利用上节方法，针对LED扩展光源设计了一款自由曲面透镜：在距离光源1000 mm处的目标平面内实现外半径Rout=2000 mm 、内半径Rin=1000 mm的环形均匀照度分布.LED扩展光源使用朗伯型面光源，发光面直径为6 mm，光通量为100 lm.透镜中心高度为28.79 mm，发光面直径与透镜中心高度的比例为 1 : 4.8，因此该 LED光源不能当作理想的点光源，而是当作面光源处理.透镜材料为PMMA光学塑料，折射率为1.49.

首先，利用点光源算法设计了自由曲面透镜的模型，并对其进行了光线追迹，在距离光源1000 mm处目标平面的照度分布如图3所示，即在目标平面内形成了一个环形外半径Rout=2000 mm 、内半径Rin=1000 mm的均匀照度.当把 LED面光源作为光源，而仍然使用基于点光源设计的自由曲面透镜进行光线追迹时，目标平面上原本均匀的环形区域照度分布发生劣化，形成如图4所示的不均匀环形照度分布，且目标环形区域内照度均匀度UE=0.73，光能利用率为0.83.

图3 点光源照度分布图

图4 面光源照度分布图

图5给出了点光源和面光源在目标平面Y=0mm的照度切片对比图，由图5可知，利用点光源算法设计的自由曲面透镜不适用于面光源.

图5 照度分布切片对比图

为了实现面光源在目标平面内环形均匀照度分布，使用贝塞尔曲线控制点多参数优化算法对上述自由曲面透镜模型进行优化.

在基于点光源设计的自由曲面透镜轮廓线上，用等弧长的方法选取 51个点作为控制点来构建贝塞尔曲线初始模型，该初始模型的模拟仿真效果如图6所示.在设定的目标环形区域内，照度均匀度UE=0.76，光能利用率为 0.77，评价函数MF=1348.31.将贝塞尔曲线初始模型的控制点作为优化变量，对控制点优化后的仿真效果如图7所示.在设定的目标环形区域内，照度均匀度UE=0.91，利用率为 0.80，评价函数MF=80.61；并在内半径为1150 mm、外半径为1900 mm环形区域内，照度均匀度UE=0.99.以目标平面Y=0mm 处的照度切片为对比，图8给出了优化前后照度对比图，图9给出了优化前后模型轮廓线的对比图.

综上，利用基于贝塞尔曲线控制点多参数优化方法优化自由曲面透镜，可使目标环形区域内照度从0.77提升到0.91，光能利用率从0.77提升到0.80，评价函数MF从1348.31降到80.61，取得了较好的环形均匀照度分布.

图6 面光源初始模型照度分布图

图7 面光源优化模型照度分布图

图8 优化前后照度对比图

图9 初始模型与优化模型轮廓线对比图

4 结论

本论文提出了基于贝塞尔曲线控制点参数优化自由曲面透镜的方法，针对具有一定尺寸的LED扩展光源设计了一款自由曲面透镜，在距离光源1000 mm处的目标平面内实现了环形外半径Rout=2000 mm 、内半径 Rin=1000 mm的均匀照度分布.实例研究结果表明，在设定的目标环形区域内照度均匀度能够达到0.91，光能利用率达到0.80；并在内半径为1150 mm、外半径为1900 mm环形区域内，照度均匀度能够达到0.99，即在实现高均匀照度光分布的同时仍能保持较高的光能利用率.因此，本论文提供的算法能应用于设计基于LED扩展光源的环形照度分布的自由曲面透镜，为环岛道路照明、捕鱼灯等特殊场合的照明光学设计提供了新的思路.