二维带尖点区域上Boussinesq方程组在有限时间爆破的局部光滑解

康 静，邓大文

（湘潭大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411105）

Boussinesq方程组描述了不可压流体在有热对流时的流动情况，模拟大气、洋流等实际现象[1-3]。二维无粘性无热传导的Boussinesq方程组的全局正则性是个开问题，即还不清楚局部光滑解是否一定可以延拓为全局光滑解。R2和二维光滑区域上不可压Euler方程组具有全局正则性[4-6]，Kiselev和Zlatos[7]在一个有尖点的区域上，对该方程组构造了一类在有限时间爆破的局部光滑解。对无黏性无热传导的Boussinesq方程组，在上述3种区域上的全局正则性都是开问题，本文用Kiselev和Zlatos的方法，在他们使用的有尖点区域上，构造一类在有限时间内爆破的局部光滑解。

1 预备知识

我们先回忆一般二维有界光滑区域Ω上的Boussinesq方程组

其中 u=(u1(x,t),u2(x,t))是速度场，θ=θ(x,t)∈R是温度场,p=p(x,t)∈R是压力场，x=(x1,x2)∈Ω，t＞0，e2=(0,1)，n是∂Ω的单位外法向量，u在∂Ω上满足u·n=0。本文约定，(1)i指式（1）中的第i条方程，i=1,2,3。可以把式（1）写成涡量-流函数形式，令ω=为涡量，又由div u=0，知存在流函数 ψ：Ω→R ，使 u=∇⊥ψ ,其中 ∇⊥:=(-∂x2,∂x1)。由式 (1)4，可知ψ|∂Ω为常数，不妨设为0。所以式（1）可写成

可参看文献[4，8]等对Euler方程涡量-流函数形式的描述。由式(2)3和(2)4

其中GΩ(·,·)为区域 Ω 上的格林函数的负，即

其中 KΩ(x,y)=GΩ(x,y)。注意在 Ω×Ω 上，GΩ(·,·)＜ 0 ，GΩ(x,y)|x∈∂Ω=0 ，即 ∂Ω 是 GΩ(·,y)的0-等值线。所以∇xGΩ(x,y)与∂Ω垂直，指向Ω外，GΩ(x,y)与∂Ω 相切，指向反时针方向。在R2上式（1）的局部光滑解存在性定理，可参看文献[10]。我们将用到二维有界光滑区域上Boussinesq方程组的局部存在性定理：若ω和θ的初值ω0和θ0都在 C1(Ω)，则存在T＞0，使式（2）在 Ω×[0,T]上有C1解。可用类似于二维Euler方程的Yudovich定理的证明方法得到，可参看文献[5]和本文末段的概述。

以下描述本文中的尖点区域D'。我们沿用文献[7]中的区域（图1）。令

为两个分别以(0,1)和(0,-1)为中心的球场形区域，每个的高度是 2r＞0（图1(a)）。注意只是C1,1区域。通过在圆弧和直线段的接口处适当地改动圆弧，可得无穷光滑的区域。这个改动可以任意小，使和的面积任意接近。最后，令L ，其中 L=(-1,1)×{0}为开线段，用D:=表示D'的上半部，如图1(b)所示。

在D'上考虑式(2)，设其上的光滑初值ω0和θ0对x2反对称，且在L的一个邻域内为0，则从光滑区域上的局部存在定理得到它们有互为正负的局部光滑解，由Dθ/Dt=0和Dω/Dt=θx1，容易知道对小的时间 t，ω(·,t)和 θ(·,t)在 L 的一个邻域内仍为0，所以两个解光滑地粘合成为D'上的局部光滑解。注：这样的在D'上的解的速度场u在x∈D处的值可由u(x,t)=(x,y)ω(y,t)dy给出。

图1 尖点区域

本文用Kiselev和Zlatos[7]的方法，在 D'上对无黏性无热传导Boussinesq方程组构造在有限时间内爆破的局部光滑解。与文献[7]中对二维Euler方程的讨论不同，从式(2)1可见，当θx1非零时（若要构造式(2)非平凡的解，θx1就不能恒为0），涡量不是简单地被搬运，而是随着流体质点的流动可以变动，以致变号，为估计边界上质点的移动速度增添了难度。本文通过选取适当的初始温度θ0，限制了在任何时候θx1≠0的区域的面积，从而解决了问题。

2 定理及其证明

在陈述主要定理前，先证一个引理。

又因为∂D在每个x∈∂D处都满足内球条件，所以由Hopf引理，对任意的x∈∂D，

(∇v·n)(x)=(∂v/∂n)(x)＞0

从而 ∇v(x)≠0→，且因 ∂D 是紧的，所以

ε：=inf{ ||∇v(x)，x∈∂D}＞0断言得证。

以下我们完成引理1的证明。因为∂D是GD(·,y) 和 v(·) 的 0-等 值 线 ，所 以 对 x∈ ∂D ，∇xGD(x,y)和∇v(x)都与∂D垂直，都指向外。因此，在∂D上，对y∈

定理1带有尖点的区域D'上二维Boussinesq方程组（2）存在有限时间内爆破的局部光滑解。详细地，若初始温度和涡量 θ0, ω0∈C1(Dˉ')对 x2反对称，在L的一个邻域内为0，在D内它们非负，θ0只在足够小的区域上非0，ω0在θ0的支撑内不恒为零，且ω0在∂DL上与尖点P（图1(b)）的距离足够小的一点处非0，则ω在有限时间内变得不连续。

证明：选取对 x2反对称的ω0,θ0，从而由Biot-Savart公式知速度场u相对于x1-轴对称，使在某时间t0＞0前在∂D上的质点最低以某速度沿反时针方向流动，且在足够接近尖点P的某点x'∈∂D处ω0(x')＞0，且保证从x'出发的质点流动时涡量不变。则从ω0对 x2的反对称性，当 x'与它相对于x1-轴的镜像x''同时流到L时，ω就在L处不连续。以下是详细证明。

第一步：选初始涡量和温度ω0,θ0：D'→R满足以下条件

(i) ω0,θ0∈C1(Dˉ')，对 x2反对称；

(ii)在 D 内，ω0,θ0≥0，不恒等于0；

(iii)ω0,θ0各在 L的某开邻域 Nω0,Nθ0内为0；

(v)∫W0ω0(y)dy＞0 令，即 ω0在W0内不恒为0；

(vi)ω0在∂DL离P足够近的一点处非零（第三步中详细描述）。

设X(x,t)为从x出发的质点轨迹，即满足的唯一解。令

所以在 DWt上 ω(·,t)≥0 。事实上，若 ∉W0，则存在的一个邻域 N，N⋂W0=φ ，其上 θ≡0 ，从而θx1

≡0，Dω/Dt=0。因为 X(·,t)是 D 上的同胚，所以

第二步：由光滑区域上局部光滑解的存在性，可知存在T＞0，使在 D×[0,T]上式（2）有以 ω0,θ0为初值的光滑解，若它在有限时间内爆破，则定理1结论已成立。以下设它可以延拓为D上的全局光滑解。

我们断言：若x∈∂D，u(x,t)=∫DKD(x,y)ω(y,t)dy 与 ∂D 相切，指向反时针方向，且存在常数C＞0，t0＞0，使当t∈[0,t0]时，有|u(x,t)|≥C。

为证明此断言，取δ＞0，使

以上所涉及的区域可参看图2。把速度u分解为

图2 区域D，和Wt

以下分别估计I,II和III。从式（4）后的讨论可知，对 x∈∂D,y∈D,KD(x,y)与∂D相切，指向反时针方向。因为在(D)Wt上 ω(y ,t)≥0，所以I指向反时针方向。对于II,同样地在积分区域里ω(y,t)≥0，令

由式（8）可得，|S|≥δ,ω≥δ 。令τ为 ∂D 上指向反时针方向的单位切向量，则

由引理1，II是长度不小于εδ2，跟∂D相切，指向反时针方向的向量。以下估计III。由积分中值定理，

分以下两种情况讨论：若对所有 t≥0，ω(y0,t)≥0，则在任何时间III都指向反时针方向，得u(x,t)满足 |u(x,t)|≥εδ2，指向反时针方向的 ∂D 的切向量(此时取t0为任意正数)。若存在时间t，使ω(y0(t),t)＜0，则令t0为使

第三步：从第二步可知直到时间t0，∂D上的质点沿反时针方向至少移动εδ2t0。现在选x'∈∂D,x'在令θ0消失的L的开邻域 Nθ0内（从而 x'∉W0，ω(X(x',t),t)=ω0(x')），并从x'沿反时针方向到尖点P的距离小于εδ2t0，那么在t0之前的某时间t1，从x'出发的质点将流到L中，又由ω对x2的反对称性（从而由Biot-Savart公式u1和u2分别对 x2对称和反对称），在上x'相对于 x1-轴的镜像 x''也同时流到 L。有两种情况：若 ω0(x')＞0，则ω0(x'')＜0，ω(·,t1)在 L 处将不连续；若 ω0(x')=0，则对ω0在x'附近作小改动使得ω0(x')＞0，这样增加ω0后，I仍然指向反时针方向。对已选的δ，式（6）依然成立。所以在t0之前的某t1，仍有ω(·,t1)在L处不连续。定理1证毕。

以下粗略描述一般二维光滑区域Ω上Boussinesq方程组经典解的局部存在性。把式（2）补上u和θ的初值条件(10)5、 (10)6，把式(2)3、 (2)4换成等价的式(10)3、 (10)4后得到

存在性的证明平行于文献[5]中对二维Euler方程的讨论。先假定 ω0∈L∞(Ω)，θ0∈C1(Ω)，证明式（10）存在局部弱解，即存在T＞0，及

n=1,2，…。可证式（12）有解，并在区域Ω×[0,T]内收敛到式（11）的解 ω,θ∈L∞(Ω×[0,T])，然后证明它们是式（10）的弱解。进一步，当ω0∈C1(Ω)时，可用类似于文献[5]的方法证明

ω,θ∈C1(Ω×[0,T])。

3 结论

本文考虑无黏性无热传导的Boussinesq方程组的全局正则性。通过粘合两个光滑区域上的光滑解，我们得到一个在带尖点区域上有限时间失去光滑性的局部光滑解。所以在这类区域上，这组方程组不具有全局正则性。